Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Giải hệ phương trình: $x-\frac{4}{\sqrt{3y+1}}=-1$ & $y-\frac{4}{\sqrt{3x+1}}=-1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 sakumarouta

sakumarouta

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Đã gửi 11-11-2019 - 23:24

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x-\frac{4}{\sqrt{3y+1}}=-1 & \\ y-\frac{4}{\sqrt{3x+1}}=-1 & \end{matrix}\right.$


#2 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 12-11-2019 - 04:11

Điều kiện xác định: $x,y > -\dfrac13$.

Đặt $\sqrt{3x+1}=a\geqslant 0$, $\sqrt{3y+1}=b\geqslant 0$, khi đó ta có hệ

\begin{equation} \label{eq:I} \tag{I} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{a^2-1}{3}-\dfrac4b=-1 \\ \dfrac{b^2-1}{3}-\dfrac4a=-1 \end{array}\right. \end{equation}

 

Từ hệ $\eqref{eq:I}$ ta có phương trình hệ quả:

\begin{align*} &\phantom{\iff}~ \dfrac{a^2-1}{3}-\dfrac{b^2-1}{3}+\dfrac4a-\dfrac4b=0 \\ &\iff \left(a-b\right)\left(\dfrac{a+b}{3}-\dfrac4{ab}\right)=0 \end{align*}

 

Nếu $a=b$ thì ta dễ dàng giải được $a=b=2$, từ đó ta có $\fbox{$x=y=1$}$.

 

Nếu $\dfrac{a+b}{3}-\dfrac4{ab}=0$ thì đặt $a+b=S$, $ab=P$ với $S^2\geqslant 4P$. Khi đó $SP=12 \implies S\neq 0$. Chú ý rằng $S^2\geqslant 4P \implies S^3\geqslant 40 \implies S\geqslant 2\sqrt[3]{6}>3$.

 

Từ hệ $\eqref{eq:I}$ ta có $\dfrac{a^2-1}{3}+\dfrac{b^2-1}{3}-\dfrac4a-\dfrac4b=-2 \iff \dfrac{S^2-2P}{3}-\dfrac{4S}{P}+\dfrac43=0$.

 

Thế $P=\dfrac{12}{S}$, ta có $\dfrac{S^2-\dfrac{24}{S}}{3}-\dfrac{4S}{\dfrac{12}{S}}+\dfrac43=0 \iff \dfrac{S^3-S^2+4S-24}{S}=0 \iff \dfrac{\left[\left(S+1\right)^2+9\right]\left(S-3\right)+6}{S}=0$.

 

Phương trình cuối cùng là vô nghiệm với $S>3$.

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x,y)=(1,1)$.


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh