Chủ đề này có 13 trả lời

[darkangle249]

Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+1\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

[Hunghcd]

BĐT$\Leftrightarrow (\frac{1}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc})\sum (a-b)^2\geq 0$

Có ngược dấu không nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 20-05-2021 - 22:36

[darkangle249]

BĐT$\Leftrightarrow (\frac{1}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}-\frac{1}{a^2+ab+b^2})\sum (a-b)^2\geq 0$

Có ngược dấu không nhỉ

không ngược dấu đâu bạn. mình thử thay bằng số rồi.

[darkangle249]

BĐT$\Leftrightarrow (\frac{1}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}-\frac{1}{a^2+ab+b^2})\sum (a-b)^2\geq 0$

Có ngược dấu không nhỉ

bạn bị biến đổi nhầm thì phải. tổng sigma của cái đầu thôi. và cộng thêm 1. không phải cộng thêm 3 đâu nhé

[Hunghcd]

không ngược dấu đâu bạn. mình thử thay bằng số rồi.

ok bạn,mình fix r

[darkangle249]

$\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{c^{2}}{c(a+b+c)}$

có gợi ý dùng cộng mẫu kiểu này ạ. nhưng mình chưa nghĩ ra lời giải

[Hunghcd]

không ngược dấu đâu bạn. mình thử thay bằng số rồi.

đâu phải mình cộng 1 vào VT đâu,mình trừ 1/3 cho mỗi phân số ở VT,trừ2 cho cái phân số ở vế phải

[darkangle249]

đâu phải mình cộng 1 vào VT đâu,mình trừ 1/3 cho mỗi phân số ở VT,trừ2 cho cái phân số ở vế phải

Hình như bạn ghi thiếu số 1/3

[darkangle249]

đâu phải mình cộng 1 vào VT đâu,mình trừ 1/3 cho mỗi phân số ở VT,trừ2 cho cái phân số ở vế phải

dưới mẫu ý. trừ từng cái 1 cho 1/3 mà 

[Hunghcd]

BĐT $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}-\frac{1}{3(a^2+ab+b^2)})$\geq 0$

Đặt cái trong ngoặc là Sc,tương tự xây dựng Sa,Sb như vậy

Ko giảm tq,gs a$\geq b\geq c$ dễ cm Sb$\geq 0$,Sb+Sa$\geq 0$,$Sb+Sc\geq 0$

Theo tiêu chuẩn 2 đl S.O.S $\rightarrow$đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 21-05-2021 - 08:11

[darkangle249]

BĐT$\Leftrightarrow$$\sum (\frac{ab}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{3})\geq \frac{4(ab+ac+bc)}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}-2\Leftrightarrow -\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+ab+b^2}\geq -\frac{\sum (a-b)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc} \Leftrightarrow (\frac{1}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc})\sum (a-b)^2\leq 0$
Mình không thay số vào để thử,nhưng 1 là bài mình ngược dấu 2 là đề bài ngược dấu(Bài mình chỉ biến đổi tđ thôi nên ý tưởng nó ntn là đúng r)

Bạn ơi cái đoạn biến đổi thứ 2 ý. Bị quên mất số 3 nhân với mẫu thì phải.

[Hunghcd]

Bạn ơi cái đoạn biến đổi thứ 2 ý. Bị quên mất số 3 nhân với mẫu thì phải.

Sr nhé,sai ngu quá.Mình bổ sung (lần cuối) rồi

[darkangle249]

cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+1\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

[darkangle249]

đây là lời giải nhé. mình mới nghĩ ra

BĐT $< = > \sum (\frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+1)+4\geq \frac{4\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}+6$

$< = > \sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+4\geq \frac{4\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}+6$

mà $\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{4c^{2}}{c(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+2c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}$

tương tự rồi cộng vế

VT $\geq \frac{\sum (a+b+2c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}$

$\doteq \frac{6\sum a^{2}+10\sum ab}{\sum a^{2}+\sum ab}\doteq$ VP