Cho các số thực x,y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$T = \frac{x-y}{x^4+y^4+6}$
$T^2=\frac{(x-y)^2}{(x^4+y^4+6)^2}$.
Ta có $x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{(x-y)^4}{8}$.
Đặt $(x-y)^2=t\geq 0$ thì $T^2\leq \frac{64t}{(t^2+48)^2}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: $t^2+48=t^2+16+16+16\geq 4\sqrt[4]{t^2.16^3}=32\sqrt{t}\Rightarrow T^2\leq \frac{1}{16}\Rightarrow -\frac{1}{4}\leq T\leq \frac{1}{4}$.
Lời giải. Đặt $x=y-k$ khi đó $|T|=\frac{|k|}{(k-y)^4+y^4+6}$
Ta có đánh giá rằng với mọi $a,b\in\mathbb{R}$ thì $a^4+b^4\geqslant \frac{(a+b)^4}{8}$ do đó $|T|=\frac{|k|}{(k-y)^4+y^4+6}\leqslant \frac{|k|}{\frac{k^4}{8}+6}=\frac{|k|}{\frac{k^4}{8}+2+2+2}\leqslant \frac{|k|}{4|k|}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{-1}{4}\leqslant T\leqslant \frac{1}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 21-08-2021 - 10:47
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
$T^2=\frac{(x-y)^2}{(x^4+y^4+6)^2}$.
Ta có $x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{(x-y)^4}{8}$.
Đặt $(x-y)^2=t\geq 0$ thì $T^2\leq \frac{64t}{(t^2+48)^2}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: $t^2+48=t^2+16+16+16\geq 4\sqrt[4]{t^2.16^3}=32\sqrt{t}\Rightarrow T^2\leq \frac{1}{16}\Rightarrow -\frac{1}{4}\leq T\leq \frac{1}{4}$.
t đã lớn hơn không đâu mà đưa căn t vào vậy bác
t đã lớn hơn không đâu mà đưa căn t vào vậy bác
$t=(x-y)^2$ mà bạn
ok bác
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh