Cho tập $A=\left \{ 1,2,3,...,2n \right \}$. Tập con $C$ của $A$ được gọi là tập ''cân'' nếu trong $C$ số các số lẻ bằng số các số chẵn (Tập rỗng là một tập cân). Gọi $M$ là tập các tập cân của $X$ và $N$ là tập gồm các tập con có $n$ phần tử của tập $A$. Chứng minh: $|M|=|N|$
Chứng minh: $|M|=|N|$
#1
Đã gửi 25-07-2021 - 16:18
#2
Đã gửi 25-07-2021 - 22:56
Số cách chọn tập cân 2m (m$\leq$n) phần tử của A là: (số cách chọn bộ số lẻ) nhân (số cách chọn bộ số chẵn)$=(nCm)^2$
Nghĩa là $|M|=(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+...+(nCn)^2$
Có $|N|=nC2n$, cần phải cm $(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+...+(nCn)^2=nC2n$
Tự coi người ta chứng minh nha
https://www.doubtnut...2-2ncn-10963687
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 25-07-2021 - 22:56
- Nobodyv3 yêu thích
#3
Đã gửi 26-07-2021 - 10:07
Mình xin tiếp bước, tức là ta cần chứng minh đẳng thức :Số cách chọn tập cân 2m (m$\leq$n) phần tử của A là: (số cách chọn bộ số lẻ) nhân (số cách chọn bộ số chẵn)$=(nCm)^2$
Nghĩa là $|M|=(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+...+(nCn)^2$
Có $|N|=nC2n$, cần phải cm $(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+...+(nCn)^2=nC2n$
Tự coi người ta chứng minh nha
https://www.doubtnut...2-2ncn-10963687
$$\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{k} \right )^2=C_{2n}^{n}$$ $(1)$
Ta sử dụng phương pháp đếm bằng 2 cách.
Giả sử ta muốn lập 1 đội thể dục đồng diễn có n bạn từ n bạn nam và n bạn nữ. Ta có thể chọn $\left (C_{2n}^{n}\right ) $ cách $(2)$
Mặt khác, ta có thể chọn:
- 0 nam và n nữ :
$C_{n}^{0}C_{n}^{n}=\left (C_{n}^{0} \right )^2$
- 1 nam và n-1 nữ :
$C_{n}^{1}C_{n}^{n-1}=\left (C_{n}^{1} \right )^2$
- 2 nam và n-2 nữ :
$C_{n}^{2}C_{n}^{n-2}=\left (C_{n}^{2} \right )^2$
.
.
.
- n nam và 0 nữ :
$C_{n}^{n}C_{n}^{0}=\left (C_{n}^{n} \right )^2$
Như vậy ta có $\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{k} \right )^2 $ cách $(3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ ta đã chứng minh đẳng thức $(1)$.
- Serine và NguyenLuTham368 thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh