Chủ đề này có 1 trả lời

[Serine]

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $P$ là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Các đường vuông góc kẻ từ $A, B, C, D$ tới $PA, PB, PC, PD$ cắt nhau tạo thành tứ giác $XYZT$. Chứng minh $O$ nằm trên đường thẳng nối trung điểm các đường chéo của tứ giác $XYZT$.

[PDF]

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $P$ là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Các đường vuông góc kẻ từ $A, B, C, D$ tới $PA, PB, PC, PD$ cắt nhau tạo thành tứ giác $XYZT$. Chứng minh $O$ nằm trên đường thẳng nối trung điểm các đường chéo của tứ giác $XYZT$.

Lời giải sơ cấp cho bài toán này tương đối dài. Tuy nhiên lời giải sử dụng số phức cho bài này rất ngắn gọn

Trên mặt phẳng phức, lấy $(O)$ là đường tròn đơn vị.

Ta tính được nhãn của $X,Y,Z,T$ như bên dưới

$$x=\frac{(p\overline{p}-2)ab+p(a+b-p)}{\overline{p}ab-a-b+p},y=\frac{(p\overline{p}-2)bc+p(b+c-p)}{\overline{p}bc-b-c+p},$$

$$z=\frac{(p\overline{p}-2)cd+p(c+d-p)}{\overline{p}cd-c-d+p},t=\frac{(p\overline{p}-2)da+p(d+a-p)}{\overline{p}da-d-a+p}.$$

Do đó

$$\frac{x+z}{\overline{x}+\overline{z}}=\frac{y+t}{\overline{y}+\overline{t}}=\frac{A}{B},$$

với $$A=p^{3}-(a+b+c+d)p^{2}+(ab+ac+ad+bc+bd+cd-\overline{p}^{2}abcd)p-(bcd+cda+dab+abc-2\overline{p}abcd),$$

$$B=\overline{p}^{3}abcd-(bcd+cda+dab+abc)\overline{p}^{2}+(ab+ac+ad+bc+bd+cd-p^{2})\overline{p}-(a+b+c+d-2p).$$

Vì vậy $O$ thuộc đường nối trung điểm của $XZ$ và $YT$. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 27-07-2021 - 17:55