Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Gọi $K,L,M$ là các tiếp điểm trên cạnh $AB,BC,CA$. Đường thẳng $l$ qua $B$ song song $KL$ cắt các đường thẳng $MK,ML$ lần lượt tại $R,S$. Chứng minh $\Delta IRS$ nhọn
Chứng minh $\Delta IRS$ nhọn
Bắt đầu bởi Dennis Nguyen, 28-07-2021 - 11:05
#1
Đã gửi 28-07-2021 - 11:05
#2
Đã gửi 29-07-2021 - 07:40
Vì $RS||KL$ nên $\angle RBK=\angle BKL=\angle KML$ suy ra BKMS nội tiếp. Tương tự BLMR nội tiếp
Ta có $\cos \angle RIS=\frac{IR^{2}+IS^{2}-RS^{2}}{2IR.IS}=\frac{2r^{2}+P_{R/(I)}+P_{S/(I)}-RS^{2}}{2IR.IS}$
$=\frac{2r^{2}+\overline{RK}.\overline{RM}+\overline{SL}.\overline{SM}-RS^{2}}{2IR.IS}=\frac{2r^{2}+\overline{RB}.\overline{RS}+\overline{SB}.\overline{SR}+RS^{2}}{2IR.IS}$
$\frac{2r^{2}+RS^{2}-RS^{2}}{2IR.IS}=\frac{r^{2}}{IR.IS}$
Suy ra $\cos \angle RIS>0$ hay $\angle RIS<90^{0}$
Dễ thấy B nằm giữa R và S, IB vuông góc RS. Do đó
$\angle IRS=\angle IRB<90^{0};\angle ISR=\angle ISB<90^{0}$
Vậy tam giác IRS nhọn.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh