Chủ đề này có 3 trả lời

[youknower]

Cho tam giác $ABC$ với $(d)$ là 1 đường thẳng thay đổi và luôn đi qua $A$.

Trên $(d)$ lấy 2 điểm $E, F$ sao cho $BE$ vuông góc $AC, CF$ vuông góc $AB$.

Gọi $(d1), (d2)$ là đường thẳng qua $E, F$ và song song lần lượt với $AC, AB$.

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đường thẳng $(d1), (d2), BC$ luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.

[youknower]

Gợi ý: Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. ta chứng minh đường tròn cố định là $(HBC)$

[youknower]

Gợi ý 2: Gọi $M, N$ là giao của 2 cặp đường thẳng $(d1, CF), (d2, BE). P$ là chân đường cao từ $H$ của tam giác $HMN$. Ta chứng cm $P$ thuộc cả 2 đường tròn $(HBC)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi $(d1),(d2),BC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 11-08-2021 - 09:18

[dat09]

Theo định lí Thales $\frac{CM}{CF}=\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{BN}$, do $\Delta NPE\sim \Delta FPM$ nên $\Delta PBE\sim \Delta PCM$

Suy ra $P\in (BHC)$ vì $\angle PBE=\angle PCM$

Ta thấy P là giao điểm thứ hai của ((NFH) và (BHC), suy ra P là điểm Miquel của FKBH.CN

Do đó P thuộc (BKN) và (KFC). Tương tự ta có $P\in (CLM)$

Suy ra P là điểm Miquel của FILC.KM hay $P\in (KIL)$

Lại có $\angle BPK=\angle BNK=\angle CML=\angle CPL$, mà P là điểm chung của (BHC) và (KIL) nên $(KIL),(BHC)$ tiếp xúc nhau.

Vậy $\odot (d_{1},d_{2},BC)$ tiếp xúc với $(BHC)$ cố định.