Chủ đề này có 4 trả lời

[Dennis Nguyen]

Có bao nhiêu bao tam giác không cân có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá $2014$?

 

[Dang Hong Ngoc]

Xét bài toán tổng quát: Có bao nhiêu tam giác có độ dài ba cạnh thuộc tập $S=\{1;2;3;\ldots;n\}$ với $n\ge1,n\in\mathbb{N}.$

Dễ thấy số tam giác đều là $n$. Ta sẽ đếm số tam giác cân (không đều) : 

Kí hiệu $a$ là hai cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có : $1\le b<2a$ $\left(*\right)$ hay $b$ nhận các giá trị nguyên từ $1$ đến $2a-1$ $\left(b\ne a\right)$. Với mỗi giá trị $a\in\{2;3;\ldots;n\}$ ta có $2a-2$ giá trị $b$ thoả mãn $\left(*\right)$.

Số tam giác cân (không đều) cần tìm: $\displaystyle\sum^{n}_{a=2}\left(2a-2\right)=n^{2}-n$

Tiếp theo ta đếm số tam giác có ba cạnh không bằng nhau. Xét mệnh đề $P(n)$ : 

Số tam giác thường $u_{n}$ $\left(n\ge1\right)$ có các cạnh thuộc tập $S_{n}=\{1;2;\ldots;n\}$ được xác định theo công thức : 

$$u_{n}=\begin{cases}\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}&\left(n\hspace{0.1cm}is\hspace{0.1cm}even\right)\\\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}&\left(n\hspace{0.1cm}is\hspace{0.1cm}odd\right)\end{cases}$$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề trên đúng bằng quy nạp.

Dễ thấy mệnh đề $P(1)$ đúng vì từ tập $S=\{1\}$ không thể lập được tam giác.

Giả sử mệnh đề $P(n)$ đúng. Ta cần chứng minh $P(n+1)$ cũng là một mệnh đề đúng. Hay từ tập $S_{n+1}$ có thể lập được $\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n+1\right)}{24}$ tam giác nếu $n$ chẵn, $\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(2n-3\right)}{24}$ tam giác nếu $n$ lẻ.

Thật vậy, ta có nhận xét sau: Số tam giác lập từ tập $S_{i+1}$ $\left(1\le i\le n-1\right)$ sẽ bằng số tam giác lập từ tập $S_{i}$ cộng thêm một số tam giác, số tam giác này đều có đúng một cạnh có độ dài $i+1$.

Do đó thay vì chứng minh mệnh đề $P(n+1)$ đúng một cách trực tiếp, ta có thể chứng minh giá trị của $u_{n+1}-u_{n}$ đúng bằng số tam giác được lập từ tập $S_{n+1}$ và có độ dài một cạnh là $n+1$.

Gọi $a$$;$ $b$$;$ $n+1$ lần lượt là độ dài các cạnh tượng trưng cho mỗi tam giác có độ dài một cạnh là $n+1$. 

Trong đó: $3\le a+1\le b\le n$ $\left(a,b\in\mathbb{N}\right)$ và theo bất đẳng thức tam giác: $a+b\ge n+2$. Ta có hệ :

$$\begin{cases}a+1\le b\le n&\left(1\right)\\n-a+2\le b\le n&\left(2\right)\end{cases}$$

Nhìn hệ trên ta thấy nếu $a$ đủ lớn thì phương trình $\left(1\right)$ sẽ thu hẹp giá trị của $b$ hơn phương trình $\left(2\right)$, còn nếu $a$ đủ nhỏ thì ngược lại. Do đó ta nghĩ đến việc chia trường hợp cho $a$ với $n$ chẵn hoặc lẻ.

$\bigstar$ Trường hợp $n$ chẵn. Ta đếm số tam giác có độ dài một cạnh là $n+1$ được lập từ tập $S_{n+1}$ : 

$\bullet$ $2\le a\le\dfrac{n}{2}$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(2\right)$ ta thu được $a-1$ giá trị của $b$. 

Từ đó suy ra số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{\frac{n}{2}}_{a=2}\left(a-1\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)}{8}$

$\bullet$ $\dfrac{n}{2}+1\le a\le n-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(1\right)$ ta thu được $n-a$ giá trị của $b$. 

Từ đó suy ra số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{n-1}_{a=\frac{n}{2}+1}\left(n-a\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)}{8}$

Như vậy tổng số tam giác cần tìm với $n$ chẵn là: $\dfrac{n\left(n-2\right)}{4}$. Và giá trị này đúng bằng : 

$$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n+1\right)}{24}-\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{n\left(n-2\right)}{4}$$

$\bigstar$ Trường hợp $n$ lẻ. Tương tự như trên. Ta cũng đếm số tam giác có một cạnh bằng $n+1$ lập từ $S_{n+1}$ : 

$\bullet$ $2\le a\le\dfrac{n+1}{2}-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(2\right)$ ta thu được $a-1$ giá trị của $b$.

Số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{\frac{n-1}{2}}_{a=2}\left(a-1\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}{8}$

$\bullet$ $a=\dfrac{n+1}{2}$ : thay vào $\left(1\right)$ hoặc $\left(2\right)$ ta có : $\dfrac{n+1}{2}+1\le b\le n$.

Số tam giác trong trường hợp này là: $\dfrac{n-\left(\dfrac{n+1}{2}+1\right)}{1}+1=\dfrac{n-1}{2}$

$\bullet$ $\dfrac{n+1}{2}+1\le a\le n-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(1\right)$ ta thu được $n-a$ giá trị của $b$.

Số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{n-1}_{a=\frac{n+3}{2}}\left(n-a\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}{8}$

Tổng số tam giác trong trường hợp $n$ lẻ là: $\dfrac{\left(n-1\right)^{2}}{4}$. Và giá trị này cũng đúng bằng : 

$$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(2n-3\right)}{24}-\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{\left(n-1\right)^{2}}{4}$$

Chứng minh đã xong. Thu gom kết quả lại ta có đáp số cho bài toán ban đầu : 

Nếu $n$ chẵn, số tam giác là: $n+n^{2}-n+\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{2n^{3}+15n^{2}+10n}{24}$

Nếu $n$ lẻ, số tam giác là: $n+n^{2}-n+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{2n^{3}+15n^{2}+10n-3}{24}$

 

Có bao nhiêu bao tam giác không cân có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá $2014$?

 

Với $n=2014$, số tam giác (không cân) thoả đề bài: $\dfrac{\left(2014-2\right)2014\left(2.2014-5\right)}{24}=679244661$

[minhhanh123]

Xét bài toán tổng quát: Có bao nhiêu tam giác có độ dài ba cạnh thuộc tập $S=\{1;2;3;\ldots;n\}$ với $n\ge1,n\in\mathbb{N}.$

Dễ thấy số tam giác đều là $n$. Ta sẽ đếm số tam giác cân (không đều) : 

Kí hiệu $a$ là hai cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có : $1\le b<2a$ $\left(*\right)$ hay $b$ nhận các giá trị nguyên từ $1$ đến $2a-1$ $\left(b\ne a\right)$. Với mỗi giá trị $a\in\{2;3;\ldots;n\}$ ta có $2a-2$ giá trị $b$ thoả mãn $\left(*\right)$.

Số tam giác cân (không đều) cần tìm: $\displaystyle\sum^{n}_{a=2}\left(2a-2\right)=n^{2}-n$

Tiếp theo ta đếm số tam giác có ba cạnh không bằng nhau. Xét mệnh đề $P(n)$ : 

Số tam giác thường $u_{n}$ $\left(n\ge1\right)$ có các cạnh thuộc tập $S_{n}=\{1;2;\ldots;n\}$ được xác định theo công thức : 

$$u_{n}=\begin{cases}\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}&\left(n\hspace{0.1cm}is\hspace{0.1cm}even\right)\\\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}&\left(n\hspace{0.1cm}is\hspace{0.1cm}odd\right)\end{cases}$$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề trên đúng bằng quy nạp.

Dễ thấy mệnh đề $P(1)$ đúng vì từ tập $S=\{1\}$ không thể lập được tam giác.

Giả sử mệnh đề $P(n)$ đúng. Ta cần chứng minh $P(n+1)$ cũng là một mệnh đề đúng. Hay từ tập $S_{n+1}$ có thể lập được $\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n+1\right)}{24}$ tam giác nếu $n$ chẵn, $\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(2n-3\right)}{24}$ tam giác nếu $n$ lẻ.

Thật vậy, ta có nhận xét sau: Số tam giác lập từ tập $S_{i+1}$ $\left(1\le i\le n-1\right)$ sẽ bằng số tam giác lập từ tập $S_{i}$ cộng thêm một số tam giác, số tam giác này đều có đúng một cạnh có độ dài $i+1$.

Do đó thay vì chứng minh mệnh đề $P(n+1)$ đúng một cách trực tiếp, ta có thể chứng minh giá trị của $u_{n+1}-u_{n}$ đúng bằng số tam giác được lập từ tập $S_{n+1}$ và có độ dài một cạnh là $n+1$.

Gọi $a$$;$ $b$$;$ $n+1$ lần lượt là độ dài các cạnh tượng trưng cho mỗi tam giác có độ dài một cạnh là $n+1$. 

Trong đó: $3\le a+1\le b\le n$ $\left(a,b\in\mathbb{N}\right)$ và theo bất đẳng thức tam giác: $a+b\ge n+2$. Ta có hệ :

$$\begin{cases}a+1\le b\le n&\left(1\right)\\n-a+2\le b\le n&\left(2\right)\end{cases}$$

Nhìn hệ trên ta thấy nếu $a$ đủ lớn thì phương trình $\left(1\right)$ sẽ thu hẹp giá trị của $b$ hơn phương trình $\left(2\right)$, còn nếu $a$ đủ nhỏ thì ngược lại. Do đó ta nghĩ đến việc chia trường hợp cho $a$ với $n$ chẵn hoặc lẻ.

$\bigstar$ Trường hợp $n$ chẵn. Ta đếm số tam giác có độ dài một cạnh là $n+1$ được lập từ tập $S_{n+1}$ : 

$\bullet$ $2\le a\le\dfrac{n}{2}$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(2\right)$ ta thu được $a-1$ giá trị của $b$. 

Từ đó suy ra số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{\frac{n}{2}}_{a=2}\left(a-1\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)}{8}$

$\bullet$ $\dfrac{n}{2}+1\le a\le n-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(1\right)$ ta thu được $n-a$ giá trị của $b$. 

Từ đó suy ra số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{n-1}_{a=\frac{n}{2}+1}\left(n-a\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)}{8}$

Như vậy tổng số tam giác cần tìm với $n$ chẵn là: $\dfrac{n\left(n-2\right)}{4}$. Và giá trị này đúng bằng : 

$$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n+1\right)}{24}-\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{n\left(n-2\right)}{4}$$

$\bigstar$ Trường hợp $n$ lẻ. Tương tự như trên. Ta cũng đếm số tam giác có một cạnh bằng $n+1$ lập từ $S_{n+1}$ : 

$\bullet$ $2\le a\le\dfrac{n+1}{2}-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(2\right)$ ta thu được $a-1$ giá trị của $b$.

Số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{\frac{n-1}{2}}_{a=2}\left(a-1\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}{8}$

$\bullet$ $a=\dfrac{n+1}{2}$ : thay vào $\left(1\right)$ hoặc $\left(2\right)$ ta có : $\dfrac{n+1}{2}+1\le b\le n$.

Số tam giác trong trường hợp này là: $\dfrac{n-\left(\dfrac{n+1}{2}+1\right)}{1}+1=\dfrac{n-1}{2}$

$\bullet$ $\dfrac{n+1}{2}+1\le a\le n-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(1\right)$ ta thu được $n-a$ giá trị của $b$.

Số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{n-1}_{a=\frac{n+3}{2}}\left(n-a\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}{8}$

Tổng số tam giác trong trường hợp $n$ lẻ là: $\dfrac{\left(n-1\right)^{2}}{4}$. Và giá trị này cũng đúng bằng : 

$$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(2n-3\right)}{24}-\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{\left(n-1\right)^{2}}{4}$$

Chứng minh đã xong. Thu gom kết quả lại ta có đáp số cho bài toán ban đầu : 

Nếu $n$ chẵn, số tam giác là: $n+n^{2}-n+\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{2n^{3}+15n^{2}+10n}{24}$

Nếu $n$ lẻ, số tam giác là: $n+n^{2}-n+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{2n^{3}+15n^{2}+10n-3}{24}$

 

 

Với $n=2014$, số tam giác (không cân) thoả đề bài: $\dfrac{\left(2014-2\right)2014\left(2.2014-5\right)}{24}=679

 

có cách nào tìm trực tiếp công thức không ạ

[chanhquocnghiem]

......

Dễ thấy số tam giác đều là $n$. Ta sẽ đếm số tam giác cân (không đều) : 

Kí hiệu $a$ là hai cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có : $1\le b<2a$ $\left(*\right)$ hay $b$ nhận các giá trị nguyên từ $1$ đến $2a-1$ $\left(b\ne a\right)$. Với mỗi giá trị $a\in\{2;3;\ldots;n\}$ ta có $2a-2$ giá trị $b$ thoả mãn $\left(*\right)$.

Số tam giác cân (không đều) cần tìm: $\displaystyle\sum^{n}_{a=2}\left(2a-2\right)=n^{2}-n$

......

Em tính số tam giác cân (đều và không đều) ở đoạn này có "một chút xíu" nhầm lẫn, xin được sửa lại như sau :

Ta sẽ đếm số tam giác cân (đều và không đều).

Ký hiệu $a$ là cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có $\frac{b}{2}< a\le n$

+ $b=1$ : $a$ có thể lấy $n$ giá trị (từ $1$ đến $n$)

+ $b=2$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=3$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=4$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

+ $b=5$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

...................

Vậy :

+ Nếu $n$ chẵn ($n=2k$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k)^2-2[1+2+3+...+(k-1)]-k=3k^2=\frac{3n^2}{4}$

+ Nếu $n$ lẻ ($n=2k+1$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k+1)^2-2(1+2+3+...+k)=3k^2+3k+1=\frac{3n^2+1}{4}$

[Dang Hong Ngoc]

có cách nào tìm trực tiếp công thức không ạ

thực ra mình tìm công thức truy hồi của $u_{n}$ trước rồi mới suy ra công thức tổng quát cho dãy $\left(u_{n}\right)$, do quá trình tìm khá phức tạp cũng như nhiều công đoạn (một phần cũng là hơi khó để trình bày), nên mình chỉ lấy phần công thức $u_{n}$ rồi chứng minh bằng quy nạp.

 

Em tính số tam giác cân (đều và không đều) ở đoạn này có "một chút xíu" nhầm lẫn, xin được sửa lại như sau :

Ta sẽ đếm số tam giác cân (đều và không đều).

Ký hiệu $a$ là cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có $\frac{b}{2}< a\le n$

+ $b=1$ : $a$ có thể lấy $n$ giá trị (từ $1$ đến $n$)

+ $b=2$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=3$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=4$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

+ $b=5$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

...................

Vậy :

+ Nếu $n$ chẵn ($n=2k$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k)^2-2[1+2+3+...+(k-1)]-k=3k^2=\frac{3n^2}{4}$

+ Nếu $n$ lẻ ($n=2k+1$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k+1)^2-2(1+2+3+...+k)=3k^2+3k+1=\frac{3n^2+1}{4}$

Em cảm ơn ạ sơ suất quá, anh không nói chắc em cũng không nhận ra.

* Sửa lại công thức cuối:

$n$ chẵn: $\dfrac{3n^{2}}{4}+\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{n\left(n+2\right)\left(2n+5\right)}{24}$

$n$ lẻ: $\dfrac{3n^{2}+1}{4}+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(2n+1\right)}{24}$