Đến nội dung

Hình ảnh

Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Một số $\overline{abcde}$ được gọi là số ''đẹp'' nếu $a<b>c<d>e$ (Chẳng hạn $15243$ là số ''đẹp''). Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Có bao nhiêu số "hill-dale number" $\overline{abcd}$? - Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức - Diễn đàn Toán học (diendantoanhoc.org)

Dạng 1: $\overline{ab0d0}$ có 2 số $0$ ví dụ như $12020$.

Dạng 2: $\overline{ab0de}$ hoặc $\overline{abcd0}$ có đúng 1 số $0$.

Dạng 3: $\overline{abcde}$ không có chữ số nào bằng $0$.

 

Lưu ý: Bài bạn khác bài trong link ($a,c,e$ có thể bằng nhau, và tương tự với $b,d$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 31-07-2021 - 10:14

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Một số $\overline{abcde}$ được gọi là số ''đẹp'' nếu $a<b>ce$ (Chẳng hạn $15243$ là số ''đẹp''). Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?

Để cho nhanh, áp dụng định lý André (André' s theorem ):
$$y:=\sum_{n\geq 0}^{}E_{n}\frac{x^n}{n!}=1+1x+1\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!}+61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Thì : $E_{5}=\boxed {16}$.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Để cho nhanh, áp dụng định lý André (André' s theorem ):
$$y:=\sum_{n\geq 0}^{}E_{n}\frac{x^n}{n!}=1+1x+1\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!}+61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Thì : $E_{5}=\boxed {16}$.

Sao chỉ có $16$ nhỉ ? (Có gì đó sai sai !)
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Hình như $8622$ :) Bữa giờ em cũng thấy lạ mà quên không hỏi. 


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Hình như $8622$ :) Bữa giờ em cũng thấy lạ mà quên không hỏi. 

Có thể làm thử cho xem được không ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

a) Dạng 1: $d$ chọn tuỳ ý từ $1$ đến $9$. Còn $b$ phụ thuộc $a$ nên có $9.\sum_{i=1}^{8}=324$ số .

b) Dạng 2:

* $\overline{ab0de}$ thì ta chỉ cần đếm $ab$ vì $de$ tương tự. Mà $a<b$, $a=1\rightarrow 8$ nên có $36$ số $\overline{ab}$

Suy ra có $36.36=1296$ số.

* $\overline{abcd0}$ thì ta có $a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow a$, $d=c+1\rightarrow 9$ 

Nên có: $\sum_{a=1}^8(9-a)\sum_{c=1}^a(9-c)=1086$ số.

c) Dạng 3:

$a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow b-1$, $d=c+1\rightarrow 9$, $e=1\rightarrow d-1$

Nên có: ...

 

P/S :) Cái cuối nghĩ chưa ra nữa ạ!!!


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#8
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

a) Dạng 1: $d$ chọn tuỳ ý từ $1$ đến $9$. Còn $b$ phụ thuộc $a$ nên có $9.\sum_{i=1}^{8}=324$ số .

b) Dạng 2:

* $\overline{ab0de}$ thì ta chỉ cần đếm $ab$ vì $de$ tương tự. Mà $a<b$, $a=1\rightarrow 8$ nên có $36$ số $\overline{ab}$

Suy ra có $36.36=1296$ số.

* $\overline{abcd0}$ thì ta có $a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow a$, $d=c+1\rightarrow 9$ 

Nên có: $\sum_{a=1}^8(9-a)\sum_{c=1}^a(9-c)=1086$ số.

c) Dạng 3:

$a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow b-1$, $d=c+1\rightarrow 9$, $e=1\rightarrow d-1$

Nên có: ...

 

P/S :) Cái cuối nghĩ chưa ra nữa ạ!!!

Dạng 1 : $324$ số.

 

Dạng 2 :

   + $\overline{ab0de}$ : $1296$ số.

   + $\overline{abcd0}$ : $1086$ số.

 

Dạng 3 : $\overline{abcde}$ (không có chữ số $0$)

Trước hết ta tính số kiểu $\overline{de}$.

Nếu $d=2$ thì có 1 kiểu ($\overline{21}$), $d=3$ thì có 2 kiểu ($\overline{31},\overline{32}$),...

Vậy số kiểu của $\overline{de}$ là $m=1+2+...+8=36$ kiểu.

Số kiểu của $\overline{1de}$ là $n_1=m=36$

Số kiểu của $\overline{2de}$ là $n_2=36-1=36-C_2^2$

Số kiểu của $\overline{3de}$ là $n_3=36-(1+2)=36-C_3^2$

......................................................

Số kiểu của $\overline{cde}$ là $n=\sum_{k=1}^{8}n_k=8.36-\left ( C_2^2+C_3^2+...+C_8^2 \right )=8.36-C_9^3$
Số kiểu của $\overline{9cde}$ là $p_9=n=8.36-C_9^3$

Số kiểu của $\overline{8cde}$ là $p_8=n-n_8=7.36-C_8^3$
Số kiểu của $\overline{7cde}$ là $p_7=n-n_8-n_7=6.36-C_7^3$

......................................................

Số kiểu của $\overline{bcde}$ là $p=\sum_{k=2}^{9}p_k=36^2-\left ( C_9^3+C_8^3+...+C_3^3 \right )=36^2-C_{10}^4=1086$

Số kiểu của $\overline{1bcde}$ là $q_1=p=1086$

Số kiểu của $\overline{2bcde}$ là $q_2=p-p_2=1086-36=1086-C_2^2.36$

Số kiểu của $\overline{3bcde}$ là $q_3=p-p_2-p_3=1086-(3.36-1)=1086-\left ( C_3^2.36-C_2^2.1 \right )$

Số kiểu của $\overline{4bcde}$ là $q_4=p-p_2-p_3-p_4=1086-\left [ C_4^2.36-\left ( C_3^2.1+C_2^2.2 \right ) \right ]$

.......................................................

Số kiểu của $\overline{abcde}$ là $q=\sum_{k=1}^{8}q_k=8.1086-\left [ C_9^3.36-\left ( C_8^3.1+C_7^3.2+C_6^3.3+...+C_3^3.6 \right ) \right ]=5916$

 

Đáp án bài toán : $324+1296+1086+5916=8622$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-08-2021 - 19:28

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#9
128tt

128tt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

dạ có thể nói rõ hơn về định lý này được không ạ

 

Để cho nhanh, áp dụng định lý André (André' s theorem ):
$$y:=\sum_{n\geq 0}^{}E_{n}\frac{x^n}{n!}=1+1x+1\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!}+61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Thì : $E_{5}=\boxed {16}$.



#10
128tt

128tt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Ta chia bài toán thành các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: d>e>b

  + Nếu c> a thì có 9C5 cách chọn

  + Nếu a>c thì có 10C5 cách chọn

Vậy trường hợp này có 9C5+10C5 cách chọn

- Trường hợp 2: b>d ( d>a;c;e) hoặc d>b ( b>a;c;e)

  + Nếu a>c và a>e khi đó bộ  2 số (c,e) có 2 cách chọn ( c>e hoặc e>c) khi đó số cách chọn là  2.10C5 cách

  + Nếu a nằm giữa 2 số c và e thì có 2.10C5 cách

  + Nếu a nhỏ nhất trong 3 số  a,c,e thì có 2.9C5 cách

Vậy trường hợp này có : 4( 2.10C5+9C5) cách chọn

- Trường hợp 3: b>a>d thì có 2.10C5 cách chọn

Vậy số cách chọn thỏa mãn là : 9C5+10C5+4( 2.10C5+9C5)+2.10C5=3402 cách

Không biết em sai chỗ nào không mong mọi người chỉ giáo



#11
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Một số $\overline{abcde}$ được gọi là số ''đẹp'' nếu $a< b >c< d >e$ (Chẳng hạn $15243$ là số ''đẹp''). Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?

Lập tổng một cách trật tự ta có:
\begin{align*}
S&=\sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9\sum_{e=0}^{d-1} 1 \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9 {d \choose 1} \\
&= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1} \left[{10\choose 2}-{c+1\choose 2}\right] \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9 \left[{10\choose 2}{b\choose 1}-{b+1\choose 3}\right] \\
&=\sum_{a=1}^8\left[{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{a+1\choose 2}-{11\choose 4}+{a+2\choose 4}\right]\\
&= 8{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{10\choose 3}-8{11\choose 4} +{11\choose 5}\\ &=8622
\end{align*}

#12
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Lập tổng một cách trật tự ta có:
\begin{align*}
S&=\sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9\sum_{e=0}^{d-1} 1 \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9 {d \choose 1} \\
&= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1} \left[{10\choose 2}-{c+1\choose 2}\right] \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9 \left[{10\choose 2}{b\choose 1}-{b+1\choose 3}\right] \\
&=\sum_{a=1}^8\left[{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{a+1\choose 2}-{11\choose 4}+{a+2\choose 4}\right]\\
&= 8{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{10\choose 3}-8{11\choose 4} +{11\choose 5}\\ &=8622
\end{align*}

Nice solution!
I hope to be a talented "$\Sigma '$ faithful" like you.👍

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-02-2024 - 10:02

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh