Một số $\overline{abcde}$ được gọi là số ''đẹp'' nếu $a<b>c<d>e$ (Chẳng hạn $15243$ là số ''đẹp''). Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?
Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?
#1
Đã gửi 31-07-2021 - 09:32
#2
Đã gửi 31-07-2021 - 10:12
Dạng 1: $\overline{ab0d0}$ có 2 số $0$ ví dụ như $12020$.
Dạng 2: $\overline{ab0de}$ hoặc $\overline{abcd0}$ có đúng 1 số $0$.
Dạng 3: $\overline{abcde}$ không có chữ số nào bằng $0$.
Lưu ý: Bài bạn khác bài trong link ($a,c,e$ có thể bằng nhau, và tương tự với $b,d$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 31-07-2021 - 10:14
- hxthanh yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#3
Đã gửi 01-08-2021 - 17:27
Để cho nhanh, áp dụng định lý André (André' s theorem ):Một số $\overline{abcde}$ được gọi là số ''đẹp'' nếu $a<b>ce$ (Chẳng hạn $15243$ là số ''đẹp''). Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?
$$y:=\sum_{n\geq 0}^{}E_{n}\frac{x^n}{n!}=1+1x+1\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!}+61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Thì : $E_{5}=\boxed {16}$.
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#4
Đã gửi 06-08-2021 - 16:14
Để cho nhanh, áp dụng định lý André (André' s theorem ):
$$y:=\sum_{n\geq 0}^{}E_{n}\frac{x^n}{n!}=1+1x+1\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!}+61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Thì : $E_{5}=\boxed {16}$.
Sao chỉ có $16$ nhỉ ? (Có gì đó sai sai !)
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#5
Đã gửi 06-08-2021 - 16:40
Hình như $8622$ Bữa giờ em cũng thấy lạ mà quên không hỏi.
- hxthanh và DOTOANNANG thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#6
Đã gửi 06-08-2021 - 17:29
Hình như $8622$ Bữa giờ em cũng thấy lạ mà quên không hỏi.
Có thể làm thử cho xem được không ?
- DOTOANNANG yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#7
Đã gửi 06-08-2021 - 21:21
a) Dạng 1: $d$ chọn tuỳ ý từ $1$ đến $9$. Còn $b$ phụ thuộc $a$ nên có $9.\sum_{i=1}^{8}=324$ số .
b) Dạng 2:
* $\overline{ab0de}$ thì ta chỉ cần đếm $ab$ vì $de$ tương tự. Mà $a<b$, $a=1\rightarrow 8$ nên có $36$ số $\overline{ab}$
Suy ra có $36.36=1296$ số.
* $\overline{abcd0}$ thì ta có $a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow a$, $d=c+1\rightarrow 9$
Nên có: $\sum_{a=1}^8(9-a)\sum_{c=1}^a(9-c)=1086$ số.
c) Dạng 3:
$a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow b-1$, $d=c+1\rightarrow 9$, $e=1\rightarrow d-1$
Nên có: ...
P/S Cái cuối nghĩ chưa ra nữa ạ!!!
- DOTOANNANG yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#8
Đã gửi 07-08-2021 - 15:12
a) Dạng 1: $d$ chọn tuỳ ý từ $1$ đến $9$. Còn $b$ phụ thuộc $a$ nên có $9.\sum_{i=1}^{8}=324$ số .
b) Dạng 2:
* $\overline{ab0de}$ thì ta chỉ cần đếm $ab$ vì $de$ tương tự. Mà $a<b$, $a=1\rightarrow 8$ nên có $36$ số $\overline{ab}$
Suy ra có $36.36=1296$ số.
* $\overline{abcd0}$ thì ta có $a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow a$, $d=c+1\rightarrow 9$
Nên có: $\sum_{a=1}^8(9-a)\sum_{c=1}^a(9-c)=1086$ số.
c) Dạng 3:
$a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow b-1$, $d=c+1\rightarrow 9$, $e=1\rightarrow d-1$
Nên có: ...
P/S Cái cuối nghĩ chưa ra nữa ạ!!!
Dạng 1 : $324$ số.
Dạng 2 :
+ $\overline{ab0de}$ : $1296$ số.
+ $\overline{abcd0}$ : $1086$ số.
Dạng 3 : $\overline{abcde}$ (không có chữ số $0$)
Trước hết ta tính số kiểu $\overline{de}$.
Nếu $d=2$ thì có 1 kiểu ($\overline{21}$), $d=3$ thì có 2 kiểu ($\overline{31},\overline{32}$),...
Vậy số kiểu của $\overline{de}$ là $m=1+2+...+8=36$ kiểu.
Số kiểu của $\overline{1de}$ là $n_1=m=36$
Số kiểu của $\overline{2de}$ là $n_2=36-1=36-C_2^2$
Số kiểu của $\overline{3de}$ là $n_3=36-(1+2)=36-C_3^2$
......................................................
Số kiểu của $\overline{cde}$ là $n=\sum_{k=1}^{8}n_k=8.36-\left ( C_2^2+C_3^2+...+C_8^2 \right )=8.36-C_9^3$
Số kiểu của $\overline{9cde}$ là $p_9=n=8.36-C_9^3$
Số kiểu của $\overline{8cde}$ là $p_8=n-n_8=7.36-C_8^3$
Số kiểu của $\overline{7cde}$ là $p_7=n-n_8-n_7=6.36-C_7^3$
......................................................
Số kiểu của $\overline{bcde}$ là $p=\sum_{k=2}^{9}p_k=36^2-\left ( C_9^3+C_8^3+...+C_3^3 \right )=36^2-C_{10}^4=1086$
Số kiểu của $\overline{1bcde}$ là $q_1=p=1086$
Số kiểu của $\overline{2bcde}$ là $q_2=p-p_2=1086-36=1086-C_2^2.36$
Số kiểu của $\overline{3bcde}$ là $q_3=p-p_2-p_3=1086-(3.36-1)=1086-\left ( C_3^2.36-C_2^2.1 \right )$
Số kiểu của $\overline{4bcde}$ là $q_4=p-p_2-p_3-p_4=1086-\left [ C_4^2.36-\left ( C_3^2.1+C_2^2.2 \right ) \right ]$
.......................................................
Số kiểu của $\overline{abcde}$ là $q=\sum_{k=1}^{8}q_k=8.1086-\left [ C_9^3.36-\left ( C_8^3.1+C_7^3.2+C_6^3.3+...+C_3^3.6 \right ) \right ]=5916$
Đáp án bài toán : $324+1296+1086+5916=8622$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-08-2021 - 19:28
- hxthanh, Baoriven, DOTOANNANG và 2 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#9
Đã gửi 09-08-2021 - 18:41
dạ có thể nói rõ hơn về định lý này được không ạ
Để cho nhanh, áp dụng định lý André (André' s theorem ):
$$y:=\sum_{n\geq 0}^{}E_{n}\frac{x^n}{n!}=1+1x+1\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!}+61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Thì : $E_{5}=\boxed {16}$.
#10
Đã gửi 09-08-2021 - 19:09
Ta chia bài toán thành các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: d>e>b
+ Nếu c> a thì có 9C5 cách chọn
+ Nếu a>c thì có 10C5 cách chọn
Vậy trường hợp này có 9C5+10C5 cách chọn
- Trường hợp 2: b>d ( d>a;c;e) hoặc d>b ( b>a;c;e)
+ Nếu a>c và a>e khi đó bộ 2 số (c,e) có 2 cách chọn ( c>e hoặc e>c) khi đó số cách chọn là 2.10C5 cách
+ Nếu a nằm giữa 2 số c và e thì có 2.10C5 cách
+ Nếu a nhỏ nhất trong 3 số a,c,e thì có 2.9C5 cách
Vậy trường hợp này có : 4( 2.10C5+9C5) cách chọn
- Trường hợp 3: b>a>d thì có 2.10C5 cách chọn
Vậy số cách chọn thỏa mãn là : 9C5+10C5+4( 2.10C5+9C5)+2.10C5=3402 cách
Không biết em sai chỗ nào không mong mọi người chỉ giáo
#11
Đã gửi 22-02-2024 - 21:47
Lập tổng một cách trật tự ta có:Một số $\overline{abcde}$ được gọi là số ''đẹp'' nếu $a< b >c< d >e$ (Chẳng hạn $15243$ là số ''đẹp''). Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?
\begin{align*}
S&=\sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9\sum_{e=0}^{d-1} 1 \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9 {d \choose 1} \\
&= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1} \left[{10\choose 2}-{c+1\choose 2}\right] \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9 \left[{10\choose 2}{b\choose 1}-{b+1\choose 3}\right] \\
&=\sum_{a=1}^8\left[{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{a+1\choose 2}-{11\choose 4}+{a+2\choose 4}\right]\\
&= 8{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{10\choose 3}-8{11\choose 4} +{11\choose 5}\\ &=8622
\end{align*}
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#12
Đã gửi 23-02-2024 - 09:25
Nice solution!Lập tổng một cách trật tự ta có:
\begin{align*}
S&=\sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9\sum_{e=0}^{d-1} 1 \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9 {d \choose 1} \\
&= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1} \left[{10\choose 2}-{c+1\choose 2}\right] \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9 \left[{10\choose 2}{b\choose 1}-{b+1\choose 3}\right] \\
&=\sum_{a=1}^8\left[{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{a+1\choose 2}-{11\choose 4}+{a+2\choose 4}\right]\\
&= 8{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{10\choose 3}-8{11\choose 4} +{11\choose 5}\\ &=8622
\end{align*}
I hope to be a talented "$\Sigma '$ faithful" like you.👍
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-02-2024 - 10:02
- hxthanh yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh