Đến nội dung

Hình ảnh

Dãy số $(a_{n})$ được gọi là dãy lập, nếu tồn tại $2$ số nguyên $n$ khác $m$ và $a_{n} = a_{m}$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Cho $x$ là số nguyên dương bất kì. Ta kí hiệu $T(x;y)$ là tổng các lũy thừa bậc $y$ các chữ số của $x$ .Ví dụ với $x = 1234, y = 2$ thì $T(x;y) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$

 

Cho dãy số $(a_{n}):$ ( $y; k$ là 2 số nguyên dương cho trước)

$a_{1} = k$ 

$a_{n+1} = T(a_{n};y)$ với mọi $n$ nguyên dương.

Dãy số $(a_{n})$ được gọi là dãy lập, nếu tồn tại $2$ số nguyên $n$ khác $m$ và $a_{n} = a_{m}$.

 

a/ Chứng minh với $y = 1$, thì với mọi giá trị $k$ cho trước thì dãy $(a_{n})$ là dãy lập.

b/ Khẳng định trên có còn đúng với $y > 1$ không ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 01-08-2021 - 21:12


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bạn có ví dụ cụ thể của $T(x;y)$ không?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Bạn có ví dụ cụ thể của $T(x;y)$ không?

Ví dụ với $x = 1234, y = 2$ thì $T(x;y) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$

 

P/s: sorry đúng là nhiều sở hữu quá nên rối


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 01-08-2021 - 18:34


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Ví dụ với $x = 1234, y = 2$ thì $T(x;y) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$

 

P/s: sorry đúng là nhiều sở hữu quá nên rối

Vậy thì phải là "tổng các lũy thừa bậc $y$ của các chữ số của $x$" chứ? Số hạng nào cơ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Câu a đơn giản là bài test chia hết cho $9$ hay không :) Đầu tiên chứng minh là $a_{n} \equiv a_{n+1} (\text{mod } 9)$. Sau đó chứng minh là $a_n > a_{n+1}$ nếu $a_n \ge 10$.

Từ đó sẽ thấy dãy $(a_n)$ giảm ngặt đến một chỉ số $i$ nào đó sao cho $a_i < 10$ thì $(a_n)$ sẽ lập từ chỉ số $i$ đấy.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Trong trường hợp tổng quát thì ta cần nhận xét sau: $\forall y\, \exists M > 0 \, \forall x > M: x > T(x;y)$ và $\forall x \le M: T(x;y) \le M$. (1)

Chứng minh (1) thì cần chú ý tới $T(x;y) \le d(x) 9^y$ với $d(x)$ là số chữ số của $x$ nguyên dương. Công thức của $d(x)$ là: $d(x) = \lceil \log_{10} x \rceil$.

Quay về với bài toán. Nếu chúng ta bắt đầu dãy $(a_n)$ với một số $k > M$ thì theo (1), dãy $(a_n)$ sẽ giảm ngặt đến một chỉ số $N_0$ nào đó: $a_n \le M \forall n \ge N_0$. Từ đây, dãy $(a_n)$ chỉ "loanh quanh" trong tập $X=\{ 1,2,\ldots,M \}$. Còn nếu $k \le M$ thì dãy $(a_n)$ sẽ không bao giờ vượt quá $M$.

Tiếp theo, chọn ra $M+1$ số $a_{N_0}, a_{N_0 + 1}, \ldots, a_{N_0 + M}$. Theo nguyên lý Dirichlet, phải có hai số bằng nhau, tức là $\exists k,l \in [N_0;N_0+M]: a_k = a_l$ (đpcm).


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh