Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm min, max $AA'+BB'+CC'$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 riddle???

riddle???

    24724345310

  • Thành viên
  • 688 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:???

Đã gửi 29-07-2006 - 16:37

Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là $AA',BB',CC'$.
a)Tìm min $AA'+BB'+CC'$
b)Tìm max $AA'+BB'+CC'$



#2 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 19-05-2013 - 11:09

Gọi giao điểm các đường thẳng đó như hình vẽ

YkLtBaR.png

 

Bây giờ ta cần tìm max và min của $EF + KJ + GH$
Dễ chứng minh được $\frac {EF}{AB} + \frac {JK}{AC} + \frac {GH}{BC} = 2 \tag I$

Thật vậy:
$IHCJ, IKAE, IFBG$ là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song

$\implies GH = IG + IH = BF + CJ \ \ (1)$ 

Áp dụng hệ quả của Thales và tính chất dãy tỉ lệ thức: $\frac {GH}{BC} = \frac {AG}{AB} = \frac {AH}{AC} = \frac {GH + AG + BH}{AB+BC+CA} \tag 2$

Từ $(1)$ và $(2) \implies \frac {GH}{BC} = \frac {BF + CJ + AG + BH}{AB +BC+CA}$

Tương tự cho: $\frac {EF}{AB},\ \frac {JK}{AC}$

Rồi cộng lại, ta được đẳng thức $(I)$

 

Bài toán sẽ quy về tìm max, min của $a x + b y + c z$ với điều kiện $x + y + z = 2 \land x,y,z \in (0;1)$, trong đó:

$a = BC, b = AC, c = AB;\ x=\frac {GH}{BC}, y = \frac {KJ}{AC}, z = \frac {EF}{AB}$

Để cho tiện, sẽ xét $x,y,z \in [0;1]$ (em chưa học lim, nên chắc phải làm kiểu này)

Không mất tỉnh tổng quát, giả sử: $c \ge b \ge a$

Ta đi chứng minh: $a x + by  + c z \ge  a + b \tag {II}$

$$(II) \iff a(2-y-z) + b y + c z -a - b \ge 0$$

$$\iff 2 a + z (c-a) + y (b-1) - a - b \ge 0$$

$$\iff (a-b)(1-y) + z(c-a) \ge 0$$

(bất đẳng thức luôn đúng vì $(a-b)(1-y)\ge 0,\ z(c-a) \ge 0$)

Đẳng thức xảy ra $\iff y = 1 \land z = 0 \iff I \equiv C$ (???)
Nhưng $I$ không thể trùng với $C$ được (cũng như $x,y,z \not \in \{0;1\}$)

Do đó $ax + by + cz \ge a + b - (const)$

Trong đó $(const)$ là hằng số dương vô cùng nhỏ (như $0.(0)1$ chẳng hạn)

Chứng minh tương tự, được:
$ax + by + cz \le b+ c - (const)$

 

Kết luận $$AA'+BB'+CC' = EF + KJ + GH \in (AB+BC + CA - \max\{AB,BC,CA\};AB + BC + CA - \min\{AB,BC,CA\})$$

hay $\boxed{\min\{AA'+BB'+CC'\} \approx AB+BC+CA - \max\{AB,BC,CA\}}$

$\boxed{\max\{AA'+BB'+CC'\} \approx AB+BC+CA - \min\{AB,BC,CA\}}$ 

 

Bình luận/mở rộng, làm chặt (thực ra thế nó mới dễ làm hơn): 

Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ không nằm ngoài tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng lần lượt không cắt các cạnh AB, AC, BC của tam giác. Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là các đoạn thẳng $EF,KJ,GH$.
a)Tìm min $EF + KJ + GH$
b)Tìm max $EF + KJ + GH$

 

Làm tương tự như lời giải trên, sẽ thu được 

$\boxed{\min\{EF + KJ + GH\} = AB+BC+CA - \max\{AB,BC,CA\}} \iff I \equiv$ đỉnh có góc trong lớn nhất

$\boxed{\max\{EF + KJ + GH\} = AB+BC+CA - \min\{AB,BC,CA\}} \iff I \equiv$ đỉnh có góc trong nhỏ nhất


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-05-2013 - 17:55

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2013 - 16:05

Chấm bài: 

ilovelife: 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh