Chủ đề này có 1 trả lời

[DBS]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\geq 2(ab+bc+ca)$.

Tìm GTNN của biểu thức: $$P=a+b+c+\frac{8}{abc}$$

[PDF]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\geq 2(ab+bc+ca)$.

Tìm GTNN của biểu thức: $$P=a+b+c+\frac{8}{abc}$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a$ là số lớn nhất trong ba số $a,b,c$.

Khi ấy ta sẽ có được $a\geq b+c$.

Thật vậy, nếu $b+c>a$, ta nhận thấy $2(bc+ca+ab)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)>0$, mâu thuẫn.

Ta biến đổi lại giả thiết thành $(a-b-c)^{2}\geq 4bc$, hay $a\geq b+c+2\sqrt{bc}\geq 4\sqrt{bc}$.

Áp dụng BĐT AM-GM

$$P=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{8}{abc}+b+c\geq 3\sqrt[3]{\frac{2a}{bc}}+b+c\geq \frac{6}{\sqrt[6]{bc}}+b+c=b+c+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}\geq 8.$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=4,b=c=1$ và các hoán vị tương ứng. $\square$