Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh tồn tại ít nhất một số chẵn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 CauVang274

CauVang274

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 23-11-2019 - 21:25

Cho 6 số $a,b,c,d,e,f$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=f^2$.

Chứng minh trong 6 số trên tồn tại ít nhất một số chẵn.


CNT


#2 CauVang274

CauVang274

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 23-11-2019 - 22:00

Nghĩ ra rồi, mọi người kiểm tra giúp mình 

Giả sử cả 6 số đều lẻ. Đặt $a=2n+1\Leftrightarrow a^2=\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4n\left(n+1\right)+1$

Do đó $a^2$ chia 8 dư 1.

Chứng minh tương tự thì $b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ cũng chia 8 dư 1.

Suy ra VT chia 8 dư 5; VP chia 8 dư 1 => mẫu thuẫn.

Vậy giả sử sai hay trong 6 số đã cho có ít nhất một số chẵn (đpcm)


CNT


#3 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-11-2019 - 22:05

Cần thêm điều kiện $ a,b,c,d,e,f \in N $ 

Giả sử không có số nào chẵn, đặt $ a = 2a'+1, b=2b'+1,c=2c'+1,d=2d'+1,e=2e'+1,f=2f'+1.$

Suy ra $ (2a'+1)^2 + ( 2b'+1)^2 + ( 2c'+1)^2 + (2d'+1 )^2 + ( 2e'+1)^2 = ( 2f'+1)^2  $ 

$ \Rightarrow 4a'^2 +4a' + 4b'^2+4b'+4c'^2+4c'+4d'^2+4d'+4e'^2+4e'  + 5 = 4f'^2+4f' + 1 $ 

$ \Rightarrow  4a'^2 +4a' + 4b'^2+4b'+4c'^2+4c'+4d'^2+4d'+4e'^2+4e'  + 4  = 4f'^2+4f'  $ 

$ \Rightarrow a'^2 +a' + b'^2+b'+c'^2+c'+d'^2+d'+e'^2+e'  + 1  = f'^2+f' $

Do $ x^2 + x = x(x+1) \vdots 2 $ với $ x \in N  $  nên VT lẻ, VP chẵn ( vô lí ). 

Vậy có ít nhất 1 số chẵn. 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#4 CauVang274

CauVang274

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 23-11-2019 - 22:12

Cần thêm điều kiện $ a,b,c,d,e,f \in N $ 

Giả sử không có số nào chẵn, đặt $ a = 2a'+1, b=2b'+1,c=2c'+1,d=2d'+1,e=2e'+1,f=2f'+1.$

Suy ra $ (2a'+1)^2 + ( 2b'+1)^2 + ( 2c'+1)^2 + (2d'+1 )^2 + ( 2e'+1)^2 = ( 2f'+1)^2  $ 

$ \Rightarrow 4a'^2 +4a' + 4b'^2+4b'+4c'^2+4c'+4d'^2+4d'+4e'^2+4e'  + 5 = 4f'^2+4f' + 1 $ 

$ \Rightarrow  4a'^2 +4a' + 4b'^2+4b'+4c'^2+4c'+4d'^2+4d'+4e'^2+4e'  + 4  = 4f'^2+4f'  $ 

$ \Rightarrow a'^2 +a' + b'^2+b'+c'^2+c'+d'^2+d'+e'^2+e'  + 1  = f'^2+f' $

Do $ x^2 + x = x(x+1) \vdots 2 $ với $ x \in N  $  nên VT lẻ, VP chẵn ( vô lí ). 

Vậy có ít nhất 1 số chẵn. 

 

 

Nghĩ ra rồi, mọi người kiểm tra giúp mình 

Giả sử cả 6 số đều lẻ. Đặt $a=2n+1\Leftrightarrow a^2=\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4n\left(n+1\right)+1$

Do đó $a^2$ chia 8 dư 1.

Chứng minh tương tự thì $b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ cũng chia 8 dư 1.

Suy ra VT chia 8 dư 5; VP chia 8 dư 1 => mẫu thuẫn.

Vậy giả sử sai hay trong 6 số đã cho có ít nhất một số chẵn (đpcm)

Thấy bài em thế nào a :) 


CNT


#5 CauVang274

CauVang274

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 23-11-2019 - 22:15

Thêm vài bài nữa nhé :D 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^3+y^3+z^3=405$


CNT





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh