Chủ đề này có 3 trả lời

[DOTOANNANG]

Tìm tổng các nghiệm hữu tỉ của $\quad 4\sqrt[3]{8x- 3}= 8x^{3}+ 3.$

[KietLW9]

$4\sqrt[3]{8x-3}=8x^3+3\Leftrightarrow 4\sqrt[3]{8x-3}-8x=8x^3-8x+3$

$\Leftrightarrow \frac{4(8x-3-8x^3)}{\sqrt[3]{(8x-3)^2}+2x\sqrt[3]{8x-3}+4x^2}=8x^3-8x+3$

$\Leftrightarrow (8x^3-8x+3)(1+\frac{4}{\sqrt[3]{(8x-3)^2}+2x\sqrt[3]{8x-3}+4x^2})=0$

Dễ thấy $1+\frac{4}{\sqrt[3]{(8x-3)^2}+2x\sqrt[3]{8x-3}+4x^2}>0$ nên $8x^3-8x+3=0\Leftrightarrow (2x-1)(4x^2+2x-3)=0$

Dễ thấy chỉ có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ nên tổng các nghiệm hữu tỉ của phương trình là $\frac{1}{2}$

[Baoriven]

Thật ra tất cả các bài dạng vầy đều có một cách giải chung. 

Đặt $y=\sqrt[3]{8x-3}$ suy ra $y^3+3=8x$.

Tới đây, $4y=8x^3+3=(2x)^3+3$ và $y^3+3=4(2x)$.

Suy ra: $(2x)^3+4(2x)+3=y^3+4y+3$.

Xét hàm số $f(t)=t^3+4t+3$ thì $y'(t)=3t^2+4>0$ nên $f(t)$ đồng biến. (Ngay bước này không nhất thiết giải như vầy, có thể trừ theo về kế hợp hằng đẳng thức, lí luận phải chặt chẽ)

Do đó: $2x=y$ hay $2x=\sqrt[3]{8x-3}$.

Tới đây mọi chuyện đã dễ dàng hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 04-08-2021 - 15:46

[Ruka]

Một cách giải ngắn gọn như sau

 

$\text{PT } \iff 4\sqrt[3]{8x-3} = 8x^3 + 3$

$\iff 4\sqrt[3]{8x-3} -8x = 8x^3 - (8x - 3)$

Đặt $y = \sqrt[3]{8x-3}$ ta được:

$4y - 8x = 8x^3 - y^3$

$\iff (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2) + 2(2x - y) = 0$

$\iff (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2 + 2)=0$

Dễ thấy $4x^2 + 2xy + y^2 + 2 = (2x + \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{3y^2}{4} + 2 > 0$

Do đó $2x -y = 0 \iff 2x = y \to 2x = \sqrt[3]{8x-3} \iff 8x^3 = 8x - 3 \iff 8x^3 - 8x + 3 = 0 $

$\iff (2x-1)(4x^2+2x-3) = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$

So ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 07-02-2023 - 21:32