Chủ đề này có 1 trả lời

[UserNguyenHaiMinh]

Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{x}+\frac{9}{x+y+z}\geq 4\sum \frac{1}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UserNguyenHaiMinh: 04-08-2021 - 15:20

[Tan Phuc Nguyen]

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với $x+y+z > 0$, ta có

 

$(x+y+z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{9}{x+y+z}) \geq (x+y+z)(\frac{4}{x+y} +\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x})$

 

$\Leftrightarrow 12 + \frac{x}{z} + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y} \geq 12 + \frac{4x}{y+z} + \frac{4y}{z+x}+ \frac{4z}{x+y}$

 

$\Leftrightarrow (\frac{y}{x} + \frac{y}{z} - \frac{4y}{x+z}) + (\frac{z}{x} + \frac{z}{y} - \frac{4z}{x+y}) + (\frac{x}{y} + \frac{x}{z} - \frac{4x}{y+z}) \geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{y(x-z)^2}{xz(x+z)} + \frac{z(x-y)^2}{xy(x+y)} + \frac{x(y-z)^2}{yz(y+z)} \geq 0$

 

Khi đó ta có đpcm.

 

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z$.