Cho tứ giác ABCD có $\angle B = \angle C = 120$ độ và $AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$. Chứng minh rằng các cạnh của tứ giác ABCD thỏa mãn AB + CD = AD + BC.
Nhờ mọi người giúp mình bài toán này với ạ! Mình cảm ơn!
Cho tứ giác ABCD có $\angle B = \angle C = 120$ độ và $AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$. Chứng minh rằng các cạnh của tứ giác ABCD thỏa mãn AB + CD = AD + BC.
Nhờ mọi người giúp mình bài toán này với ạ! Mình cảm ơn!
Cho tứ giác ABCD có $\angle B = \angle C = 120$ độ và $AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$. Chứng minh rằng các cạnh của tứ giác ABCD thỏa mãn AB + CD = AD + BC.
Nhờ mọi người giúp mình bài toán này với ạ! Mình cảm ơn!
Bổ đề: Nếu tam giác $MNP$ có góc $M$ bằng $60^{\circ}$ thì
$$NP^{2}=MN^{2}+MP^{2}-MN\cdot MP.$$
Trở lại bài toán. Gọi $X$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó tam giác $BXC$ đều. Suy ra
$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}=AD^{2}=XA^{2}+XD^{2}-XA\cdot XD=(BC+AB)^{2}+(BC+CD)^{2}-(BC+AB)(BC+CD)=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+BC(AB+CD)-AB\cdot CD.$
Từ đó ta có $BC(AB+CD)=AB\cdot CD$. Để cho tiện, ta đặt $AB=x,CD=y$.
Khi ấy $BC=\frac{xy}{x+y};$ $AD=\sqrt{x^{2}+y^{2}+\frac{x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}}=\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x+y}.$
Do đó $AD+BC=\frac{(x+y)^{2}}{x+y}=x+y=AB+CD$ (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 05-06-2021 - 18:03
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh