Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq \frac{1}{7}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
$\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq \frac{1}{7}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
Bắt đầu bởi LongNT, 07-08-2021 - 13:23
#2
Đã gửi 08-08-2021 - 14:42
kogioitoan
-
- Thành viên mới
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
Ta có $\frac{a}{2a+b^{2}}=\frac{a}{2a^{2}+2ab+2ac+b^{2}}\leq \frac{a}{a^{2}+4ab+2ac}=\frac{1}{a+4b+2c}$. Thấy $\frac{1}{a}+\frac{16}{4b}+\frac{4}{2c}\geq \frac{49}{a+4b+2c}$ do đó $\frac{a}{2a+b^{2}}\leq \frac{1}{49}\left ( \frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{2}{c} \right )$.
Vậy VT$\leq \frac{1}{49}\left ( \frac{7}{a}+\frac{7}{b}+\frac{7}{c} \right )$ hay ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
