Chủ đề này có 2 trả lời

[netcomath]

Cho dãy số ($u_{n}$) thõa mãn $u_1=2020$; $u_n= \frac{u_1+2u_2+...+(n-1).u_{n-1}}{n^3-n}$.

Tính lim $n.\sqrt[3]{u_n}$

[Baoriven]

Bạn thấy công thức $u_n$ sẽ có sự giống nhau ở tử (na ná).

Nên $n^3u_n=\sum_{i=1}^{n}iu_i=nu_n+\sum_{i=1}^{n-1}iu_i=nu_n+(n-1)^3u_{n-1}$.

Suy ra $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{(n-1)^2}{n(n+1)}$.

Cứ tiếp tục tính về $u_1$, ta thu được: 

\[ \dfrac{u_n}{u_{n-1}}.\cdots.\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{1^22^2\cdots(n-1)^2}{(2.3)(3.4)\cdots n(n+1)}=\dfrac{2}{n^2(n+1)}. \]

Hay $u_n=\dfrac{2u_1}{n^2(n+1)}$.

Vậy $\lim n.\sqrt[3]{u_n}=\sqrt[3]{2u_1}$.

[supermember]

Ohh, lâu lắm mới thấy 1 ĐHV Olympiad tiếp tục con đường học toán ở bậc đại học.
Chúc em nhiều thành công & sẽ đóng góp lâu dài cho VMF nhé.