Chủ đề này có 5 trả lời

[lucas123]

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn  $x^3+y^3+z^3=3$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{xyz+(x+y+z)^2}{5(xy+yz+zx)+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-08-2021 - 02:30
Tiêu đề + LaTeX

[netcomath]

Bài này là chọn đội tuyển Quảng Nam, bạn có thể đưa về p,q,r

[lucas123]

Bài này là chọn đội tuyển Quảng Nam, bạn có thể đưa về p,q,r

[lucas123]

Bài này là chọn đội tuyển Quảng Nam, bạn có thể đưa về p,q,r

Đề năm nào vậy ạ

[Hoang72]

Đặt p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc.

Ta cm $P=\frac{r+p^2}{5q+1}\geq \frac{5}{8}$

$\Leftrightarrow 25q+5\leq 8r+8p^2$.

Từ giả thiết ta có $p^3-3pq+3r=3$ nên ta chứng minh $24p^2+8(3pq-p^3+3)\geq 75q+15\Leftrightarrow 24p^2-8p^3+9\geq 3q(25-8p)$.

Rõ ràng $25-8p\geq 0$ và $3q\leq p^2$ nên ta chỉ cần chứng minh:

$24p^2-8p^3+9\geq p^2(25-8p)$ hay $p^2\leq 9$. (luôn đúng do $p\leq 3$)

Vậy $MinP=\frac{5}{8}$ khi a = b = c = 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 09-08-2021 - 17:37

[KietLW9]

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta lần lượt suy ra: $x+y+z\leqslant 3,xy+yz+zx\leqslant 3$

Ta có: $3-3xyz=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\leqslant 3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$\Leftrightarrow xyz+(x+y+z)^2\geqslant 1+3(xy+yz+zx)$

Như vậy: $P=\frac{xyz+(x+y+z)^2}{5(xy+yz+zx)+1}\geqslant \frac{3(xy+yz+zx)+1}{5(xy+yz+zx)+1}$

Mà $\frac{3(xy+yz+zx)+1}{5(xy+yz+zx)+1}-\frac{5}{8}=\frac{3-(xy+yz+zx)}{8[5(xy+yz+zx)+1]}\geqslant 0\Rightarrow \frac{3(xy+yz+zx)+1}{5(xy+yz+zx)+1}\geqslant \frac{5}{8}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{5}{8}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$