Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn $x^3+y^3+z^3=3$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{xyz+(x+y+z)^2}{5(xy+yz+zx)+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-08-2021 - 02:30
Tiêu đề + LaTeX
Bài này là chọn đội tuyển Quảng Nam, bạn có thể đưa về p,q,r
Đề năm nào vậy ạBài này là chọn đội tuyển Quảng Nam, bạn có thể đưa về p,q,r
Đặt p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc.
Ta cm $P=\frac{r+p^2}{5q+1}\geq \frac{5}{8}$
$\Leftrightarrow 25q+5\leq 8r+8p^2$.
Từ giả thiết ta có $p^3-3pq+3r=3$ nên ta chứng minh $24p^2+8(3pq-p^3+3)\geq 75q+15\Leftrightarrow 24p^2-8p^3+9\geq 3q(25-8p)$.
Rõ ràng $25-8p\geq 0$ và $3q\leq p^2$ nên ta chỉ cần chứng minh:
$24p^2-8p^3+9\geq p^2(25-8p)$ hay $p^2\leq 9$. (luôn đúng do $p\leq 3$)
Vậy $MinP=\frac{5}{8}$ khi a = b = c = 1.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 09-08-2021 - 17:37
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta lần lượt suy ra: $x+y+z\leqslant 3,xy+yz+zx\leqslant 3$
Ta có: $3-3xyz=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\leqslant 3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$\Leftrightarrow xyz+(x+y+z)^2\geqslant 1+3(xy+yz+zx)$
Như vậy: $P=\frac{xyz+(x+y+z)^2}{5(xy+yz+zx)+1}\geqslant \frac{3(xy+yz+zx)+1}{5(xy+yz+zx)+1}$
Mà $\frac{3(xy+yz+zx)+1}{5(xy+yz+zx)+1}-\frac{5}{8}=\frac{3-(xy+yz+zx)}{8[5(xy+yz+zx)+1]}\geqslant 0\Rightarrow \frac{3(xy+yz+zx)+1}{5(xy+yz+zx)+1}\geqslant \frac{5}{8}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{5}{8}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh