Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Bất đẳng thức ̣9

batdangthuc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nguyenhoangnhi18

nguyenhoangnhi18

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 01-12-2019 - 14:28

Cho biểu thức $\sqrt{a^{2}+b^{2}} + \sqrt{b^{2}+c^{2}} + \sqrt{a^{2}+c^{2}} = \sqrt{2019}$ với a,b,c dương

 

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{a+c} + \frac{c^{2}}{a+b} \geqslant \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2019}{2}}$

 

Ai giúp với ạ!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhoangnhi18: 01-12-2019 - 14:29


#2 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 01-12-2019 - 17:22

Đặt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=x,\sqrt{b^{2}+c^{2}}=y,\sqrt{c^{2}+a^{2}}=z (x,y,z>0)$

$\Rightarrow z^{2}=c^{2}+a^{2}, x^{2}=a^{2}+b^{2},y^{2}=b^{2}+c^{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}=\frac{x^{2}+z^{2}-y^{2}}{2} & & \\ b^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2} & & \\ c^{2}=\frac{z^{2}+y^{2}-x^{2}}{2} & & \end{matrix}\right.$

$\frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}\doteq \frac{x^{2}+z^{2}-y^{2}}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{\sqrt{8}}(\frac{x^{2}+z^{2}}{y}+2y-3y)\geq \frac{1}{\sqrt{8}}(\frac{(z+x)^{2}}{2y}+2y-3y)\geq \frac{1}{\sqrt{8}}(2(x+z)-3y)$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{\sqrt{8}}(4(x+y+z)-3(x+y+z))=\frac{x+y+z}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2019}{2}}$

dấu =$\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Henry00Harry: 01-12-2019 - 17:25






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: batdangthuc

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh