Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenhoangnhi18]

Cho biểu thức $\sqrt{a^{2}+b^{2}} + \sqrt{b^{2}+c^{2}} + \sqrt{a^{2}+c^{2}} = \sqrt{2019}$ với a,b,c dương

 

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{a+c} + \frac{c^{2}}{a+b} \geqslant \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2019}{2}}$

 

Ai giúp với ạ!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhoangnhi18: 01-12-2019 - 14:29

[Henry00Harry]

Đặt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=x,\sqrt{b^{2}+c^{2}}=y,\sqrt{c^{2}+a^{2}}=z (x,y,z>0)$

$\Rightarrow z^{2}=c^{2}+a^{2}, x^{2}=a^{2}+b^{2},y^{2}=b^{2}+c^{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}=\frac{x^{2}+z^{2}-y^{2}}{2} & & \\ b^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2} & & \\ c^{2}=\frac{z^{2}+y^{2}-x^{2}}{2} & & \end{matrix}\right.$

$\frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}\doteq \frac{x^{2}+z^{2}-y^{2}}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{\sqrt{8}}(\frac{x^{2}+z^{2}}{y}+2y-3y)\geq \frac{1}{\sqrt{8}}(\frac{(z+x)^{2}}{2y}+2y-3y)\geq \frac{1}{\sqrt{8}}(2(x+z)-3y)$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{\sqrt{8}}(4(x+y+z)-3(x+y+z))=\frac{x+y+z}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2019}{2}}$

dấu =$\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Henry00Harry: 01-12-2019 - 17:25