Đến nội dung

Hình ảnh

Cho 3 số nguyên dương $a,b,n$ thoả mãn $\frac{1}{n}=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
kogioitoan

kogioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
Cho 3 số nguyên dương $a,b,n$ thoả mãn $\frac{1}{n}=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}$. Chứng minh n là hợp số

#2
kogioitoan

kogioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

Cho 3 số nguyên dương $a,b,n$ thoả mãn $\frac{1}{n}=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}$. Chứng minh n là hợp số


Ai giúp mình với :((

#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Giả sử n là số nguyên tố. Ta có $(a^3-n)(b^3-n)=n^2$ và $a^3-n>0;b^3-n>0$. 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b$. Ta có 2 TH:

+) $a^3-n=1;b^3-n=n^2$: Khi đó $n(n+1)=b^3$ mà $(n,n+1)=1$ nên n và $n+1$ là số lập phương. Suy ra $n=0$ (vô lí)

+) $a^3-n=b^3-n=n$: Khi đó $2n=a^3$. Từ đó $a\vdots 2$ nên $n\vdots 4$, vô lí vì n là số nguyên tố.

Vậy n là hợp số.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh