Chủ đề này có 1 trả lời

[Lekhanhung]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn A-Apollonius của tam giác ABC cắt (O) tại M (khác A) và cắt BC tại N. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB, MAC. Chứng minh rằng I, J, N thẳng hàng.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lekhanhung: 11-08-2021 - 20:07

[Hoang72]

MI cắt AB tại E, MJ cắt AC tại F.

Dễ thấy tứ giác ABMC điều hoà.

Ta có $\frac{AE}{BE}.\frac{NB}{NC}.\frac{FC}{FA}=\frac{MA}{MB}.\frac{AB}{AC}.\frac{MC}{MA}=\frac{MC}{MB}.\frac{AB}{AC}=1$ nên theo định lý Menelaus đảo ta có E, F, N thẳng hàng.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AEF với cát tuyến B, C, N ta có $\frac{BE}{BA}.\frac{NF}{NE}.\frac{CA}{CF}=1\Rightarrow \frac{BE}{CF}.\frac{CA}{BA}.\frac{NF}{NE}=1\Rightarrow \frac{BE}{CF}.\frac{MC}{MB}.\frac{NF}{NE}=1\Rightarrow \frac{BE}{MB}.\frac{MC}{CF}.\frac{NF}{NE}=1\Rightarrow \frac{EI}{IM}.\frac{NF}{NE}.\frac{JM}{JF}=1$.

Theo định lý Menelaus đảo, ta có I, J, N thẳng hàng.

Hình gửi kèm

•