Chủ đề này có 4 trả lời

[GiveMeATest]

Bài :Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geqslant 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-08-2021 - 20:15
Tiêu đề + LaTeX

[PDF]

Bài :Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geqslant 9$

Gợi ý: Sử dụng BĐT AM-GM với chú ý rằng $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}=\frac{3}{abc}$.

[GiveMeATest]

Gợi ý: Sử dụng BĐT AM-GM với chú ý rằng $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}=\frac{3}{abc}$.

Bạn hướng dẫn mình với,mình thử bđt AM-GM rồi vẫn chưa ra 

[KietLW9]

Bài :Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geqslant 9$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant a^2+b^2+c^2$ (Bằng cách cộng hai vế cho $a^2+b^2+c^2$)

$\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant 3$

Bất đẳng thức cuối đúng do: $abc(a^2+b^2+c^2)=\frac{abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}\leqslant \frac{(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)}{9}\leqslant \frac{[\frac{(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)}{3}]^3}{9}=\frac{(a+b+c)^6}{243}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[PDF]

Lời giải khác cho bài toán

BĐT tương đương $$2(bc+ca+ab)+\frac{3}{abc}\geq 9.$$

Áp dụng BĐT AM-GM $$VT=(bc+ca+ab)+(bc+ca+ab)+\frac{3}{abc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3(bc+ca+ab)^{2}}{abc}}.$$

Cũng theo BĐT AM-GM thì $(bc+ca+ab)^{2}\geq 3abc(a+b+c)=9abc$ nên $VT\geq 3\sqrt[3]{\frac{27abc}{abc}}=9.$

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$