Chủ đề này có 1 trả lời

[Tan Phuc Nguyen]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{4a - 1}{(2b + 1)^2} + \frac{4b - 1}{(2c + 1)^2} + \frac{4c - 1}{(2a + 1)^2} \geq 1$.

 

 

[lmtrtan123334]

$\sum \frac{4a-1}{(2b+1)^{2}}$$\geq 1$

tương đương $\sum (\frac{4a-1}{(2b+1)^{2}}$+1)$\geq 4$

tương đương$\sum \frac{4a+4b+4b^{2}}{(2b+1)^{2}}$$\geq 4$

tương đương$\sum \frac{a+b+b^{2}}{(2b+1)^{2}}$$\geq 1$

theo bunhiacopski $(a+b+b^{2})(\frac{1}{a}+b+1)\geq (b+b+1)^{2}=(2b+1)^{2}$

suy ra $\sum \frac{a+b+b^{2}}{(2b+1)^{2}}\geq \frac{1}{\frac{1}{a}+b+1}=\frac{a}{ab+a+1}$

suy ra$\inline \sum \frac{a+b+b^{2}}{(2b+1)^2}\geq \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{cb+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$

=$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}+\frac{1}{ab+a+1}$=1

Dấu "=" a=b=c=1.