Chủ đề này có 4 trả lời

[Ho Thi Thanh Truc]

Cmr  V a,b,c > 0, ta có BĐT :

 

$\frac{a^{3}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{b^{3}}{c^{3}+a^{3}}+\frac{c^{3}}{a^{3}+b^{3}}> \frac{1}{4}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

 

dấu  "="  không thể xảy ra

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ho Thi Thanh Truc: 17-08-2021 - 15:01

[KietLW9]

Ta có: 

$\sum(\frac{a^3}{b^3+c^3}-\frac{a}{b+c})=\sum\frac{ab(a+b)(a-b)^2(a^3+a^2b+ab^2+b^3+a^2c+abc+b^2c+c^3)}{(b^3+c^3)(b+c)(c^3+a^3)(c+a)}\geqq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-08-2021 - 11:00

[Ho Thi Thanh Truc]

Cách giải của bạn biến đổi hơi phưc tạp, mình xin nêu thêm một cach giải khac của bài :

 

trước hết ta có BDT nesbit V a,b,c > 0 thì $\sum \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{3}{2}$

V b,c > 0 ta có b³ + c³ < (b + c)³ nên:

 

$\sum \frac{a^{3}}{b^{3}+c^{3}}> \sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}$ (1)

 

Theo BDT Bu-nhi-a-côp-xki ta có:

 

$\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}\geqslant\frac{(\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2})^{2}}{\sum \frac{a}{b+c}}\geqslant \frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{4}}{9\sum \frac{a}{b+c}}=\frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{3}}{9}\geqslant \frac{\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\sum \frac{a}{b+c}}{9}=\frac{1}{4}\sum \frac{a}{b+c}$  (2)

 

Từ (1) và (2) ta có đpcm và dấu "=" không xảy ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ho Thi Thanh Truc: 17-08-2021 - 20:22

[KietLW9]

Cách giải của bạn biến đổi hơi phưc tạp, mình xin nêu thêm một cach giải khac của bài :

 

trước hết ta có BDT nesbit V a,b,c > 0 thì $\sum \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{3}{2}$

V b,c > 0 ta có b³ + c³ < (b + c)³ nên:

 

$\sum \frac{a^{3}}{b^{3}+c^{3}}> \sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}$ (1)

 

Theo BDT Bu-nhi-a-côp-xki ta có:

 

$\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}\geqslant\frac{(\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2})^{2}}{\sum \frac{a}{b+c}}\geqslant \frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{4}}{9\sum \frac{a}{b+c}}=\frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{3}}{9}\geqslant \frac{\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\sum \frac{a}{b+c}}{9}\geqslant \frac{1}{4}\sum \frac{a}{b+c}$  (2)

 

Từ (1) và (2) ta có đpcm và dấu "=" không xảy ra

Đúng là nhìn cách giải của mình rất phức tạp nhưng đó thật ra chỉ là làm gọn chứ nếu trong thi thì phải trình bày rõ ra. 

Nhưng nếu bạn là người nghiên cứu bất đẳng thức thì sẽ biết đến bài bất đẳng thức tổng quát mà mình đã nêu (thật ra là từ sách cả): https://diendantoanh...eq-sum-fracabc/

Đến đây thì cứ thế mà chén thôi, lấy các phân thức cùng chữ nhưng khác bậc trừ nhau rồi nhóm các kiểu sẽ có (a-b)^2, (b-c)^2 và (c-a)^2. Không có gì khó khăn phải không?

[perfectstrong]

Cách giải của bạn biến đổi hơi phưc tạp, mình xin nêu thêm một cach giải khac của bài :

 

trước hết ta có BDT nesbit V a,b,c > 0 thì $\sum \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{3}{2}$

V b,c > 0 ta có b³ + c³ < (b + c)³ nên:

 

$\sum \frac{a^{3}}{b^{3}+c^{3}}> \sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}$ (1)

 

Theo BDT Bu-nhi-a-côp-xki ta có:

 

$\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}\geqslant\frac{(\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2})^{2}}{\sum \frac{a}{b+c}}\geqslant \frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{4}}{9\sum \frac{a}{b+c}}=\frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{3}}{9}\geqslant \frac{\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\sum \frac{a}{b+c}}{9}\geqslant \frac{1}{4}\sum \frac{a}{b+c}$  (2)

 

Từ (1) và (2) ta có đpcm và dấu "=" không xảy ra

Dấu "với mọi" trong Latex là

\forall

Đừng bắt chước ai đó mà viết chữ V rồi gạch ngang, nếu không muốn bị nhắc nhở.