Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Huyen Dieu]

Cmr  V a,b,c > 0 , ta có BĐT :

 

$\frac{a^{2}(a-b)}{a+b}+\frac{b^{2}(b-c)}{b+c}+\frac{c^{2}(c-a)}{c+a}\geqslant 0$

 

dấu  "=" xảy ra  <=>   $a=b=c$

 

 

[KietLW9]

Ta cần chứng minh: $\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}\geqslant \frac{a^2b}{a+b}+\frac{b^2c}{b+c}+\frac{c^2a}{c+a}$

Dễ thấy:

+) $\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}=\frac{a^4}{a^2+ab}+\frac{b^4}{b^2+bc}+\frac{c^4}{c^2+ca}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

+) $\frac{a^2b}{a+b}+\frac{b^2c}{b+c}+\frac{c^2a}{c+a}\leqslant \frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}+\frac{b^2c}{2\sqrt{bc}}+\frac{c^2a}{2\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}\leqslant \frac{\sqrt{3(a^3b+b^3c+c^3a)}}{2}\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

[Nguyen Huyen Dieu]

bạn KietLW9 giải đúng rồi ,mình xin nêu thêm môt cách khac chứng minh ý +) thứ hai trong bài của bạn KietLW9:

Áp dụng BDT Cô-si ta có:

 

$\sum \frac{a^{2}b}{a+b}\leqslant \sum \frac{a(a+b)^{2}}{4(a+b)}=\sum \frac{a(a+b)}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{4}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$