cấu trúc đề 90p. Dù rất cố gắng nhưng mình ko làm nổi 2 phần cuối
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 15-06-2021 - 12:29
Mời các bạn tham khảo đáp án do mình và các anh chị của CLB Toán Lim biên soạn: Đáp án đề thi chuyên KHTN V1 2021 | Facebook
Ps: Nếu bạn ủng hộ, hãy tặng cho tụi mình một like bài viết Facebook nhé!
Câu III: Ta áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa:
Gọi $x$ là số nguyên, có thể không nhỏ nhất, thỏa đề bài. Với $i=\overline{1,4}$ ta có:
$x\equiv b_{i}\pmod {n_{i}}$
$N=\prod_{i=1}^{4}n_{i}=7\cdot9\cdot11\cdot13=9009; N_{i}=\frac{N}{n_{i}}$. thì $x=\sum_{i=1}^{4}b_{i}N_{i}x_{i}\pmod N.$
Tiến hành tính toán
$\square$ $b_{1}=3; N_{1}=9\cdot11\cdot13=1287$
$1287x_{1}\equiv 1\pmod 7 \Rightarrow 6x_{1}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow x_{1}\equiv 6\pmod 7$
$\Rightarrow b_{1}N_{1}x_{1}=3\cdot 1287\cdot 6=23166$
$\square$ $b_{2}=4; N_{2}=7\cdot11\cdot13=1001$
$1001x_{2}\equiv 1\pmod 9 \Rightarrow 2x_{2}\equiv 1\pmod 9\Rightarrow x_{2}\equiv 5\pmod 9$
$\Rightarrow b_{2}N_{2}x_{2}=4\cdot 1001\cdot5=20020$
$\square$ $b_{3}=5; N_{3}=7\cdot9\cdot13=819$
$819x_{3}\equiv 1\pmod {11} \Rightarrow 5x_{3}\equiv 1\pmod{11}\Rightarrow x_{3}\equiv 9\pmod {11}$
$\Rightarrow b_{3}N_{3}x_{3}=5\cdot 819\cdot 9=36855$
$\square$ $ b_{4}=6; N_{4}=7\cdot9\cdot11=693$
$693x_{4}\equiv 1\pmod {13 }\Rightarrow 4x_{4}\equiv 1\pmod {13}\Rightarrow x_{4}\equiv 10\pmod {13}$
$\Rightarrow b_{4}N_{4}x_{4}=6\cdot 693\cdot 10=41580$
$\Rightarrow x\equiv (23166+20020+36855+41580)\pmod {9009}$
$x\equiv 121621\pmod {9009}$
$x\equiv 4504\pmod {9009}$
Vậy $n=\boxed {4504}$
Thử lại:
$4504\equiv 3\pmod {7}$
$4504\equiv 4\pmod {9}$
$4504\equiv 5\pmod {11}$
$4504\equiv 6\pmod {13}.$
kinh dzữ v
Câu 3 mình làm thế này
Đặt n=7a+3=9b+4=11c+5=13d+6
Sau đó tìm đc đồng dư của a theo mod 9,11,13
Rồi lại đặt a=9m+.........
Lại tìm đc m đồng dư bao nhiêu đấy theo mod 11,13
Lại đặt m=11$a_{1}$+......
Cuối cùng tìm đc $a_{1}$ đồng dư 6 theo mod 13
Để n nhỏ nhất thì $a_{1}$ nhỏ nhất nên $a_{1}$=6 cuối cùng lần lên trên đc n=4504
Câu tổ làm sơ qua cho vui vui
Ta sẽ chia tập $A$ thành các tập con như sau $A_i = \{ 3i + 1; 3i + 2; 3i + 3 \}$ với $i \in \{ 0; \ldots; 673 \}$.
Dễ thấy hai phần tử bất kỳ của $A_i$ đều có tổng chia hết cho hiệu.
Mặt khác, hợp các $A_i$ lại phủ kín $A$. Nên nếu chọn $675$ số từ $A$, theo nguyên lý Dirichlet, ta sẽ có ít nhất hai số cùng thuộc một tập $A_i$: trái với yêu cầu đề.
Do đó, ta chỉ có thể chọn tối đa $674$ phần tử.
Một cách chọn là $B=\{ 3n + 1 | n \in \{ 0; \ldots; 673 \} \}$. Ta chứng minh tập này thỏa đề. Thật vậy, 2 số bất kỳ sẽ có dạng $3i +1$ và $3j +1 (j > i)$.
\[\frac{{\left( {3j + 1} \right) + \left( {3i + 1} \right)}}{{\left( {3j + 1} \right) - \left( {3i + 1} \right)}} = \frac{{6\left( {i + j} \right) + 2}}{{3\left( {j - i} \right)}} = 2 + \frac{{12i + 2}}{{3\left( {j - i} \right)}}\]
Vì $3|12$ và $3 \not | 2$ nên $3 \not | 12i + 2$, tức là $\frac{{12i + 2}}{{3\left( {j - i} \right)}}\not \in \mathbb{Z}$. Ta có đpcm.
Câu tổ làm sơ qua cho vui vui
Giả sử hai số nguyên dương $a,b (a>b)$ sao cho tổng $a+b$ chia hết cho $a-b$, thì tồn tại $k$ nguyên dương sao cho
\[a + b = k\left( {a - b} \right) \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)b = a\left( {k - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{{k + 1}}{{k - 1}} = 1 + \frac{2}{{k - 1}} \in Z \Rightarrow k - 1|2 \Leftrightarrow k \in \left\{ {2;3} \right\}\]
Do đó $\frac{a}{b} \in \left\{ 2;3 \right\}$.
Với nhận xét này, ta sẽ chia tập $A$ thành các tập con như sau $A_i = \{ i; 2i; 3i \}$ với $i \in A$ sao cho $i$ không chia hết cho 2 và 3.
Nếu tập con cần tìm có đủ nhiều phần tử thì theo Dirichlet, sẽ có hai phần tử cùng thuộc một tập $A_i$, mà để ý rằng bất kỳ hai phần tử nào của $A_i$ cũng sẽ có tổng chia hết cho hiệu.
Vậy chỉ cần đếm số tập $A_i$ có nhiều hơn 1 phần tử trong $A$, và những tập $A_i$ chỉ có đúng 1 phần tử thuộc $A$.
Tập con cần tìm chỉ cần chọn một phần tử từ mỗi tập này là xong
Thầy ơi hình như $\frac{a}{b}$ chưa chắc đã thuộc $\mathbb{Z}$ ạ
Thầy ơi hình như $\frac{a}{b}$ chưa chắc đã thuộc $\mathbb{Z}$ ạ
À, bạn nói đúng. Tự dưng mình lại nghĩ $\frac{a}{b} \in \mathbb{Z}$ Ví dụ cặp $(5;3)$. Cần phải suy nghĩ thêm rồi
P/s: đã sửa xong
Gọi D là trung điểm của WX, YZ và $D_1,D_2$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên AB, AC.
Gọi $W_1,W_2;X_1,X_2$ lần lượt là hình chiếu của $W,X$ trên AB, AC.
Kẻ $YY',CC'\perp AB(Y',C'\in AB);ZZ',BB'\perp AC(Z',B'\in AC)$.
Theo tính chất đường trung bình ta có:
$WW_1=2DD_1-XX_1=YY'-\frac{CC'}{2}=CC'.\frac{AY}{AC}-\frac{CC'}{2}=CC'\left ( \frac{AP+AC-PC}{2AC}-\frac{1}{2} \right )=\frac{CC'(AP-PC)}{2AC}$. (1)
Tương tự, $WW_2=\frac{BB'(AP-PB)}{2AB}$. (2)
Mặt khác $CC'.AB=BB'.AC=2S_{ABC}$ nên $\frac{CC'}{AC}=\frac{BB'}{AB}$. (3)
Kết hợp với $PB=PC$, từ (1), (2), (3) ta có: $WW_1=WW_2$.
Vậy W nằm trên phân giác của góc BAC.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh