Cho dãy số thực:
$ x_1=2006$ ; $x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}}$
Tính $\lim\limits_{n \to+ \infty} x_n$
Cho dãy số thực:
$ x_1=2006$ ; $x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}}$
Tính $\lim\limits_{n \to+ \infty} x_n$
Cho dãy số thực:
$ x_1=2006$ ; $x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}}$
Tính $\lim\limits_{n \to+ \infty} x_n$
Đặt $\lim_{n \to +\infty} x_n=L$ ($L> 0$)
Ta có : $\sqrt{3}+\frac{L}{\sqrt{L^2-1}}=L\Rightarrow L=\frac{\sqrt3+\sqrt{15}}{2}$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Đặt $\lim_{n \to +\infty} x_n=L$ ($L> 0$)
Ta có : $\sqrt{3}+\frac{L}{\sqrt{L^2-1}}=L\Rightarrow L=\frac{\sqrt3+\sqrt{15}}{2}$.
Nhưng mà phải chứng minh dãy hội tụ đã rồi quy về phương trình giới hạn
Nhưng mà phải chứng minh dãy hội tụ đã rồi quy về phương trình giới hạn
Bạn chứng minh được nó hội tụ không
Bạn chứng minh được nó hội tụ không
Đặt $f(x)=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ ta có $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$
và $f'(x)=-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}<0$ suy ra $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$
Với $x_1=2006$ suy ra $x_2\approx 2.73$ và $x_3\approx 2.81$
Khi đó $x_1>x_3 \Rightarrow x_2=f(x_1)<f(x_3)=x_4 \Rightarrow x_3=f(x_2)>f(x_4)=x_5$
Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được $(x_{2n+1})$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $1+\sqrt{3}$
$(x_{2n})$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$
Khi đó giới hạn của dãy $(x_{2n+1})$, $(x_{2n})$ tồn tại, đặt $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n+1}=a$ và $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n}=b$
Từ đó ta tìm nghiệm của hệ $$\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}\\ b=\sqrt{3}+\frac{b}{\sqrt{b^2-1}}\end{matrix}\right.$$ với $a\geq 1+\sqrt{3}$ và $1+\sqrt{3}<b\leq \sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$
Hệ có nghiệm $a=b=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$
Suy ra $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$
Đặt $f(x)=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ ta có $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$
và $f'(x)=-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}<0$ suy ra $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$
Với $x_1=2006$ suy ra $x_2\approx 2.73$ và $x_3\approx 2.81$
Khi đó $x_1>x_3 \Rightarrow x_2=f(x_1)<f(x_3)=x_4 \Rightarrow x_3=f(x_2)>f(x_4)=x_5$
Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được $(x_{2n+1})$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $1+\sqrt{3}$
$(x_{2n})$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$
Khi đó giới hạn của dãy $(x_{2n+1})$, $(x_{2n})$ tồn tại, đặt $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n+1}=a$ và $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n}=b$
Từ đó ta tìm nghiệm của hệ $$\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}\\ b=\sqrt{3}+\frac{b}{\sqrt{b^2-1}}\end{matrix}\right.$$ với $a\geq 1+\sqrt{3}$ và $1+\sqrt{3}<b\leq \sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$
Hệ có nghiệm $a=b=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$
Suy ra $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$
Anh cho em hỏi làm sao để tìm được giá trị chặn để chứng minh, ví dụ trong bài này dãy con bị chặn trên bởi số khá là lẻ.
Anh cho em hỏi làm sao để tìm được giá trị chặn để chứng minh, ví dụ trong bài này dãy con bị chặn trên bởi số khá là lẻ.
Đó sẽ là điểm bất động của hàm $g(x)=f(f(x))$. Điểm bất động của một hàm $F$ là điểm $x_0$ sao cho $F(x_0)=x_0$.
Tìm điểm bất động của hàm như thế nào ạ
Tìm điểm bất động của hàm như thế nào ạ
Giá trị chặn dưới của $\left ( x_{2n+1} \right )$ là $m=1+\sqrt{3}$
$\Rightarrow$ giá trị chặn trên của $\left ( x_{2n} \right )$ là $M=\frac{m}{\sqrt{m^2-1}}+\sqrt{3}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt{3+2\sqrt3}}+\sqrt3=\sqrt{\frac{4+2\sqrt3}{3+2\sqrt3}}+\sqrt3$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh