Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\Sigma \frac{a}{a^4+bc+3}\leq\frac{3}{5}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
kogioitoan

kogioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\Sigma \frac{a}{a^4+bc+3}\leq\frac{3}{5}$

#2
LongNT

LongNT

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $\frac{a}{a^{4}+bc+3}\leq \frac{a}{4a+bc}$ . Mặt khác $\frac{25}{4a+bc}\leq \frac{1}{a}+\frac{16}{3a+bc}=\frac{1}{a}+\frac{16}{(a+b)(a+c)}$ 

Suy ra $\frac{25a}{4a+bc}\leq 1+\frac{16a}{(a+b)(a+c)}$

Đặt P=$\sum \frac{25a}{4a+bc}$, làm tương tự như vậy, ta sẽ có P$\leq 3+\frac{32(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{32(ab+bc+ca)}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=15$

Do đó $P\leq \frac{15}{25}=\frac{3}{5}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LongNT: 24-08-2021 - 17:14





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh