1. Kẻ đường kính CC' của (ACD), BB' của (ABE).
(I) cắt AH lần nữa tại F.
Ta có HA . HF = HB . HE = HC . HD nên $F\in(J)$.
Theo kết quả quen thuộc trong tam giác ADC có $CC'$ là đường kính và AH là đường cao thì AC'DF là hình thang cân. Tương tự hình thang AB'EF là hình thang cân.
Từ đó B'C' = DE = BM = CM.
Suy ra C', I, M thẳng hàng và B', I, M thẳng hàng.
Từ đó $B'C'=2IJ$ nên $BC=4IJ.
2. Ta có BR . BA = BD . BC = BH . BM nên $R\in (AM)$.
Tương tự $S\in(AM)$.
Ta có $\frac{TR}{TS}=\frac{S_{HTR}}{S_{HTS}}=\frac{HR}{HS}.\frac{sinRHT}{sinSHT}=\frac{sinHSR}{sinHRS}.\frac{cosHSR}{cosHRS}=\frac{sinHAB}{sinHAC}.\frac{cosHAB}{cosHAC}=\frac{HB}{HC}.\frac{AC^2}{AB^2}$.
Lại có $\frac{CS}{CA}.\frac{BA}{BR}=\frac{CS.CA}{CA^2}.\frac{BA^2}{BR.BA}=\frac{CM.CH}{CA^2}.\frac{BA^2}{BM.BH}=\frac{BA^2}{CA^2}.\frac{CH}{BH}\Rightarrow \frac{TR}{TS}.\frac{CS}{CA}.\frac{AB}{AR}=1$.
Theo định lý Ceva đảo ta có đpcm.