Cho $A$ là tập con khác rỗng của $\mathbb{R},$ và $-A= \left \{ {\it a}:-{\it a}\in A \right \}\neq\emptyset.$ Chứng minh:
$$\sup -A= -\inf A$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-09-2021 - 09:54
Cho $A$ là tập con khác rỗng của $\mathbb{R},$ và $-A= \left \{ {\it a}:-{\it a}\in A \right \}\neq\emptyset.$ Chứng minh:
$$\sup -A= -\inf A$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-09-2021 - 09:54
Em giải chưa được chặt chẽ lắm anh:
$$\inf A= -x\Rightarrow -a\geq -x\Rightarrow a\leq x\Rightarrow\sup -A= x$$
Em giải chưa được chặt chẽ lắm anh:
$$\inf A= -x\Rightarrow -a\geq -x\Rightarrow a\leq x\Rightarrow\sup -A= x$$
Anh nghĩ là cần xét riêng $\inf A$ là hữu hạn hoặc $-\infty$ nhỉ?
Em giải chưa được chặt chẽ lắm anh:
$$\inf A= -x\Rightarrow -a\geq -x\Rightarrow a\leq x\Rightarrow\sup -A= x$$
Từ chỗ màu xanh thì chỉ khẳng định được $-A$ bị chặn trên hay $sup-A$ tồn tại, chứ không thể suy ra $sup-A=x$
Theo đề thì $A$ là tập con bất kì của $\mathbb{R}$ nên ta phải xét tập $A$ có bị chặn dưới hay không hay $infA=-\infty$, nếu $infA=-\infty$ thì đẳng thức trên còn đúng hay không.
Em nên dựa vào định nghĩa của supermum và infimum để chứng minh hoàn chỉnh hơn
$$supA=n\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a\leq n,\forall a\in A\\ \forall \varepsilon >0,\exists a^{*}\in A:a^{*}>n-\varepsilon
\end{matrix}\right.$$
$$infA=m\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a\geq m,\forall a\in A\\ \forall \varepsilon >0,\exists a^{*}\in A:a^{*}<m+\varepsilon
\end{matrix}\right.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 02-09-2021 - 21:37
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh