Chứng minh tâm $I$ của $(AEF)$ thuộc 1 đường cố định và $(IEF)$ tiếp xúc 1 đường cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 30-08-2021 - 12:29
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 30-08-2021 - 12:29
$A_1, A_2$ đối xứng $A$ qua $d, d'$
$EA_1 \cap FA_2 =L$
Ta sẽ chứng minh $IEF$ tiếp xúc với đường tròn cố định Mixtilinear đối với đỉnh $T$ của $LEF $
Vậy cần chứng minh
$1)$
$LEI+LFI=(LEB+KEI)+(LFC+CFI)=(VAC+BEI)+(UAB+CFI)=(VAC+UAB)+(BEI+CFI)=(180-BAC)+(BAI+BIA)=180$
$\Rightarrow IELF$ nội tiếp
$2) $
$BC \cap AI = G$
Nếu $AEF < BAI $
Dễ chứng minh $BAI+IAC=AEF+AFE=BAC$
$\Rightarrow IAC<AFE$ và 4 góc đó $<90$ độ
Có $1=\frac{S_{BAG}}{S_{CAG}}=\frac{AB*\text{sin}BAG}{AC*\text{sin}CAG}=\frac{AE}{AF}*\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}$
$\Rightarrow \frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}=\frac{AF}{AE}=\frac{\text{sin}AEF}{\text{sin}AFE}$
Mà $\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}AEF} > 1, \frac{\text{sin}CAG}{\text{sin}AFE} <1$
$\Rightarrow$ vô lý
Tương tự với $AEF>BAI$ suy ra vô lý nên $AEF=BAI$ hay $A$ là tâm nội tiếp $LEF$
$3)$
Vì $A_1T\bot AE$ và $A_1K\bot AE$ nên $A_1, T, K$ thẳng hàng
Có $AA_1K=AEK=EAB=90-BAC$ $\Rightarrow$ T cố định
Vậy $(IEF)$ tiếp xúc (T,TA) cố định
Lên Hạ sĩ rực rỡ lun
Có lời giải đẹp hơn cho em xin nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 31-08-2021 - 22:31
$A_1, A_2$ đối xứng $A$ qua $d, d'$
$EA_1 \cap FA_2 =L$
Ta sẽ chứng minh $IEF$ tiếp xúc với đường tròn cố định Mixtilinear đối với đỉnh $T$ của $LEF $
Vậy cần chứng minh
- $IELF$ nội tiếp
- $A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $LEF$
- Tâm đường tròn Mixtilinear $T$ đối với đỉnh $L$ của $LEF$ cố định
$1)$
$LEI+LFI=(LEB+KEI)+(LFC+CFI)=(VAC+BEI)+(UAB+CFI)=(VAC+UAB)+(BEI+CFI)=(180-BAC)+(BAI+BIA)=180$
$\Rightarrow IELF$ nội tiếp
$2) $
$BC \cap AI = G$
Nếu $AEF < BAI $
Dễ chứng minh $BAI+IAC=AEF+AFE=BAC$
$\Rightarrow IAC<AFE$ và 4 góc đó $<90$ độ
Có $1=\frac{S_{BAG}}{S_{CAG}}=\frac{AB*\text{sin}BAG}{AC*\text{sin}CAG}=\frac{AE}{AF}*\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}$
$\Rightarrow \frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}=\frac{AF}{AE}=\frac{\text{sin}AEF}{\text{sin}AFE}$
Mà $\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}AEF} > 1, \frac{\text{sin}CAG}{\text{sin}AFE} <1$
$\Rightarrow$ vô lý
Tương tự với $AEF>BAI$ suy ra vô lý nên $AEF=BAI$ hay $A$ là tâm nội tiếp $LEF$
$3)$
Vì $A_1T\bot AE$ và $A_1K\bot AE$ nên $A_1, T, K$ thẳng hàng
Có $AA_1K=AEK=EAB=90-BAC$ $\Rightarrow$ T cố định
Vậy $(IEF)$ tiếp xúc (T,TA) cố định
Lên Hạ sĩ rực rỡ lun
Có lời giải đẹp hơn cho em xin nha
Ý 2 có thể làm như sau: C/m giao điểm $S$ của $(B,BA)$ và $(C,CA)$ nhìn $A_{1}A_{2}$ 1 góc không đổi nên thuộc 1 đường tròn cố định $(T)$. Sau đó chứng minh $SIEF$ nội tiếp và $(IEF)$ tiếp xúc $(T)$ bằng cộng góc. Bài này khá khó ở tìm yếu tố cố định
Bài toán góc có thể phát biểu như sau: Cho tam giác $ABC$ có $M$ trên $BC. E$ thuộc $(ABM), F$ thuộc $(ACM)$ sao cho $ME$ tiếp xúc $(ACM), MF$ tiếp xúc $(ABM)$. Gọi $I$ là tâm $(MEF)$. Khi đó $(IEF)$ tiếp xúc $(O)$ khi và chỉ khi $M$ là trung điểm $BC$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh