Cho hai số thực dương $a, b$. Chứng minh rằng
$\frac{a}{\sqrt{a^2+3b^2}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+3a^2}} \geq 1$
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3b^2}} \geq 1$
Bắt đầu bởi Tan Phuc Nguyen, 04-09-2021 - 13:03
#2
Đã gửi 04-09-2021 - 13:16
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bình phương hai vế, ta cần chứng minh:
$\frac{a^2}{a^2+3b^2}+\frac{b^2}{b^2+3a^2}+\frac{2ab}{\sqrt{(a^2+3b^2)(b^2+3a^2)}}\geqslant 1$
Dễ thấy: $\frac{2ab}{\sqrt{(a^2+3b^2)(b^2+3a^2)}}\geqslant \frac{ab}{a^2+b^2}$ nên ta cần chứng minh:
$\frac{a^2}{a^2+3b^2}+\frac{b^2}{b^2+3a^2}+\frac{ab}{a^2+b^2}\geqslant 1$
Bất đẳng thức trên đúng do nó tương đương:
$\frac{ab(a-b)^2(3a^2-2ab+3b^2)}{(a^2+3b^2)(b^2+3a^2)(a^2+b^2)}\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$
- Hoang72 và Tan Phuc Nguyen thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 05-09-2021 - 17:21
Tan Phuc Nguyen
-
- Thành viên mới
-
- 16 Bài viết
Binh nhì
Bài này còn có thể giải bằng cách dùng các bất đảng thức cổ điển không bạn?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Phuc Nguyen: 05-09-2021 - 17:22
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
