Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “00 bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 00 = 1! Cũng có bạn cho rằng 00 = 0 (do 0n = 0).
Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê 0000 là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?
Để khẳng định chắc chắn 00 = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau:1=xaxa=xa−a=x0⇒00=0a0a=11=xaxa=xa−a=x0⇒00=0a0a=1
Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: 0a0a=000a0a=00 là dạng vô định.
Một số người thì cho rằng đây là quy ước, giống như quy ước: 0! = 1.
Ngoài ra, theo định lý khai triển nhị thức ta có: (1+x)n=n∑k=0Cknxn(1+x)n=∑k=0nCnkxn
Rõ ràng, định lý này không thể đúng trong trường hợp x=0x=0, ngoại trừ việc chấp nhận 00=100=1. Vì khi đó:
1n=C0n00+C1n01+C2n02+...+Cnn0n1n=Cn000+Cn101+Cn202+...+Cnn0n
Hơn nữa, bằng công cụ chuỗi hàm lũy thừa ta có:11−x=∞∑k=0xn;ex=+∞∑k=0xnn!11−x=∑k=0∞xn;ex=∑k=0+∞xnn!
Hai chuỗi này đều là chuỗi hội tụ nhưng sẽ không còn đúng trong trường hợp x=0x=0, nếu không công nhận 00=100=1.
(vì trong trường hợp x=0x=0 thì 2 chuỗi số ở vế phải có tổng riêng phần Sn=00Sn=00, trong khi tổng của chuỗi đều bằng 1).
Do đó, việc đề nghị 00=100=1 là điều hợp lý.
Nhưng theo hướng ngược lại, ta cũng có nhiều dẫn chứng để chứng tỏ 0000 phải là dạng vô định.
Thật vậy, nếu 00=100=1 thì:ln(00)=ln1=0⇒0ln0=0⇒ln(0.ln(0))=ln(0) ⇒ ln(0)+ln(ln(0)=ln(0)⇒ e=1ln(00)=ln1=0⇒0ln0=0⇒0(−∞)=0⇒
Vì e khác 1 nên 0^0 là dạng vô định
Ngoài ra, nếu sử dụng kiến thức về hàm số nhiều biến cho hàm số f(x,y)=xyf(x,y)=xy thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi (x,y)→0(x,y)→0 (do giới hạn tiến đến 0 dọc theo đường x=0x=0 nhưng giới hạn tiến đến 1 dọc theo đường y=0y=0).
Điều đó chứng tỏ 0000 là điểm gián đoạn của hàm số xyxy. Do đó, trên quan điểm của giới hạn thì 0000 là một dạng vô định.
Vậy 0000 là dạng vô định cũng là điều hợp lý.
Như vậy, bài toán 0000 giúp ta hiểu rằng Toán học không phải lúc nào cũng tuyệt đối mà nhiều lúc ta phải chấp nhận tính tương đối của nó.
written by Crystal 7/11/2011