Chủ đề này có 5 trả lời

[Hoang Huynh]

Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “0⁰ bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 0⁰ = 1! Cũng có bạn cho rằng 0⁰ = 0 (do 0ⁿ = 0).

Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê 0000 là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?

Để khẳng định chắc chắn 0⁰ = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau:1=xaxa=xa−a=x0⇒00=0a0a=11=xaxa=xa−a=x0⇒00=0a0a=1

Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: 0a0a=000a0a=00 là dạng vô định.

Một số người thì cho rằng đây là quy ước, giống như quy ước: 0! = 1.

Ngoài ra, theo định lý khai triển nhị thức ta có: (1+x)n=n∑k=0Cknxn(1+x)n=∑k=0nCnkxn

Rõ ràng, định lý này không thể đúng trong trường hợp x=0x=0, ngoại trừ việc chấp nhận 00=100=1. Vì khi đó:
1n=C0n00+C1n01+C2n02+...+Cnn0n1n=Cn000+Cn101+Cn202+...+Cnn0n

Hơn nữa, bằng công cụ chuỗi hàm lũy thừa ta có:11−x=∞∑k=0xn;ex=+∞∑k=0xnn!11−x=∑k=0∞xn;ex=∑k=0+∞xnn!

Hai chuỗi này đều là chuỗi hội tụ nhưng sẽ không còn đúng trong trường hợp x=0x=0, nếu không công nhận 00=100=1.

(vì trong trường hợp x=0x=0 thì 2 chuỗi số ở vế phải có tổng riêng phần Sn=00Sn=00, trong khi tổng của chuỗi đều bằng 1).

Do đó, việc đề nghị 00=100=1 là điều hợp lý.

Nhưng theo hướng ngược lại, ta cũng có nhiều dẫn chứng để chứng tỏ 0000 phải là dạng vô định.

Thật vậy, nếu 00=100=1 thì:ln(00)=ln1=0⇒0ln0=0⇒ln(0.ln(0))=ln(0) ⇒ ln(0)+ln(ln(0)=ln(0)⇒ e=1ln(00)=ln1=0⇒0ln0=0⇒0(−∞)=0⇒

Vì e khác 1 nên 0^0 là dạng vô định

Ngoài ra, nếu sử dụng kiến thức về hàm số nhiều biến cho hàm số f(x,y)=xyf(x,y)=xy thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi (x,y)→0(x,y)→0 (do giới hạn tiến đến 0 dọc theo đường x=0x=0 nhưng giới hạn tiến đến 1 dọc theo đường y=0y=0).

Điều đó chứng tỏ 0000 là điểm gián đoạn của hàm số xyxy. Do đó, trên quan điểm của giới hạn thì 0000 là một dạng vô định.

Vậy 0000 là dạng vô định cũng là điều hợp lý.

Như vậy, bài toán 0000 giúp ta hiểu rằng Toán học không phải lúc nào cũng tuyệt đối mà nhiều lúc ta phải chấp nhận tính tương đối của nó.

 

written by Crystal 7/11/2011

[poset]

Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “0⁰ bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 0⁰ = 1! Cũng có bạn cho rằng 0⁰ = 0 (do 0ⁿ = 0).

Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê 0000 là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?

Để khẳng định chắc chắn 0⁰ = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau:

1=

xa

xa=xa−a=x0⇒00=

0a

0a=11=xaxa=xa−a=x0⇒00=0a0a=1

Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì:

0a

0a=

0

00a0a=00 là dạng vô định.

Một số người thì cho rằng đây là quy ước, giống như quy ước: 0! = 1.
Ngoài ra, theo định lý khai triển nhị thức ta có: (1+x)n=n∑k=0Cknxn(1+x)n=∑k=0nCnkxn

Rõ ràng, định lý này không thể đúng trong trường hợp x=0x=0, ngoại trừ việc chấp nhận 00=100=1. Vì khi đó:


1n=C0n00+C1n01+C2n02+...+Cnn0n1n=Cn000+Cn101+Cn202+...+Cnn0n

Hơn nữa, bằng công cụ chuỗi hàm lũy thừa ta có:



1

1−x=∞∑k=0xn;ex=+∞∑k=0

xn

n!11−x=∑k=0∞xn;ex=∑k=0+∞xnn!

Hai chuỗi này đều là chuỗi hội tụ nhưng sẽ không còn đúng trong trường hợp x=0x=0, nếu không công nhận 00=100=1.

(vì trong trường hợp x=0x=0 thì 2 chuỗi số ở vế phải có tổng riêng phần Sn=00Sn=00, trong khi tổng của chuỗi đều bằng 1).

Do đó, việc đề nghị 00=100=1 là điều hợp lý.

Nhưng theo hướng ngược lại, ta cũng có nhiều dẫn chứng để chứng tỏ 0000 phải là dạng vô định.

Thật vậy, nếu 00=100=1 thì:

ln(00)=ln1=0⇒0ln0=0⇒ln(0.ln(0))=ln(0) ⇒ ln(0)+ln(ln(0)=ln(0)⇒ e=1ln(00)=ln1=0⇒0ln0=0⇒0(−∞)=0⇒
Vì e khác 1 nên 0^0 là dạng vô định
Ngoài ra, nếu sử dụng kiến thức về hàm số nhiều biến cho hàm số f(x,y)=xyf(x,y)=xy thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi (x,y)→0(x,y)→0 (do giới hạn tiến đến 0 dọc theo đường x=0x=0 nhưng giới hạn tiến đến 1 dọc theo đường y=0y=0).

Điều đó chứng tỏ 0000 là điểm gián đoạn của hàm số xyxy. Do đó, trên quan điểm của giới hạn thì 0000 là một dạng vô định.

Vậy 0000 là dạng vô định cũng là điều hợp lý.

Như vậy, bài toán 0000 giúp ta hiểu rằng Toán học không phải lúc nào cũng tuyệt đối mà nhiều lúc ta phải chấp nhận tính tương đối của nó.

written by Crystal 7/11/2011

Có vẻ không khác gì nói $1+1=2$ trên $\mathbb{Z}$ nhưng $1+1=0$ trên $\mathbb{F}_2$ vậy.
Đây là lời giải thích suy nghiệm (heuristic) rằng tại sao hai trường hợp trên lại khác nhau:
Trường hợp chuỗi hàm lũy thừa, ta có hàm liên tục (ở đây $\mathbb{R}\times \mathbb{N}$ là không gian metric con của không gian Euclide $\mathbb{R}^2$) $f:\mathbb{R}\times \mathbb{N}\setminus \left \{ (0,0) \right \}\rightarrow \mathbb{R}, f(x,y)=x^y$ và ta muốn có một mở rộng liên tục của $f$ trên $\mathbb{R}\times \mathbb{N}$, ta cần có $f(0,0)=1$, hay đơn giản là quy ước $0^0=1$
Trường hợp giới hạn, cũng như vậy nhưng thay vì hàm liên tục trên tập $\mathbb{R}\times \mathbb{N}$, ta có tập $\mathbb{R}^{\geq 0}\times \mathbb{R}$, và lúc này không có mở rộng liên tục nào cả, do đó người ta gọi $0^0$ là dạng vô định.
Do vậy cái vấn đề ở đây không phải là Toán học là tương đối mà là ta phải biết rõ đối tượng ta đang làm việc để phát biểu cho đúng, chứ không phải kiểu $a^2+b^2=E/m$.
Nói về tương đối thì phải dẫn luận định lý bất toàn của Godel, tiên đề chọn, giả thiết continuum,... chứ không phải cái này.
(Làm ơn học Latex dùm, đọc mãi mới hiểu bạn đang viết cái gì).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 05-09-2021 - 17:32

[Hoang Huynh]

tôi đã dành cả mùa hè để chứng minh 0^0 là dạng vô định nhưng không thể giải thích nổi về khai triển nhị thức cho (1+0)^n.

Bài viết này tôi copy từ bình luận của Crystal, https://diendantoanh...mu-khong/page-3

[dsgnoithat]

hi, tui được học bất cứ số nào mũ 0 cũng bằng 1 nhưng tui nghĩ 0 mũ 0 thì chỉ có thể bằng 0 vì bản chất của nó là số 0 rồi nhưng lại ko thể chứng minh được nên cứ theo quy ước bất cứ số nào mũ 0 cũng bằng 1 để đơn giản hóa các phép toán

[stanleymitchell]

hi, tui được học bất cứ số nào mũ 0 cũng bằng 1 nhưng tui nghĩ 0 mũ 0 thì chỉ có thể bằng 0 vì bản chất của nó là số 0 rồi nhưng lại ko thể chứng minh được nên cứ theo quy ước bất cứ số nào mũ 0 cũng bằng 1 để đơn giản hóa các phép toán

Đó là quan điểm cá nhân của mỗi người thôi. Nhưng thực tế 0/0 lại không phải bằng 0(Cá nhân mình lại thích việc 0^0=1 hơn vì $\lim_{x\rightarrow 0}x^x=1$). Nhưng về bản chất thì nó không xác định được vì không có số nào chia được cho 0 kể cả 0.

[quangthanggh]

Nói thật số 0 là con số kỳ diệu nhất trong toán học. Trước hồi còn đi học thì mình cũng chẳng bao giờ thắc mắc hoặc được gợi ý ra 0^0 bằng mấy cả và khi gặp câu hỏi này thì mình cũng rất băn khoăn chẳng biết là bằng bao nhiêu