Tìm tất cả hàm số: f: R→R liên tục trên R thỏa mãn: f(x×y) = f(x)×f(y) ∀x,y∈R
Mình biết một hàm số thõa yêu cầu của đề bài là f(x) = $\mid x\mid ^{\alpha }$ với $(\alpha > 0)$. Khi đó ta có:
f(x.y) = $\mid x.y\mid ^{\alpha }=\mid x\mid ^{\alpha }.\mid y\mid ^{\alpha }$ =f(x).f(y) . Không biết có bạn nào đưa ra được lời giải cho bài toán này không ?
Gợi ý: Đặt $f(x)=e^{g(\text{ln }x)}$ thì sẽ dễ dàng có được $g$ là hàm Cauchy. Mà $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Do đó $g(x)=cx$, $c$ là hằng số bất kì. Và sau đó ra được hàm như bạn đề cập.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-09-2021 - 17:07
Gợi ý: Đặt $f(x)=e^{g(\text{ln }x)}$ thì sẽ dễ dàng có được $g$ là hàm Cauchy. Mà $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Do đó $g(x)=cx$, $c$ là hằng số bất kì. Và sau đó ra được hàm như bạn đề cập.
Cách này chỉ đúng trên $\mathbb{R}^+$ thôi em.
Anh thấy cách đặt của pco rất dễ hiểu và tự nhiên ấy chứ Đầu tiên là xét các nghiệm hằng, sau đó chứng minh trong trường hợp không hằng thì $f(0)=0, f(1)=1$ và $f(x)$ dương nếu $x$ dương.
Từ đó, xét riêng trên miền $\mathbb{R}^+$, đặt $x=e^t, \, g(t)=\ln f(e^t)$ để suy ra $g(t)$ cộng tính và liên tục. Phần còn lại thì dễ rồi.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh