Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Kiểm tra chọn đội tuyển dự thi Olympic 30/4 năm hoc 2019-2020 Bình Thuận

olympic toán 10 chọn đội tuyển

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 ThuanTri

ThuanTri

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết-Bình Thuận
  • Sở thích:bruh

Đã gửi 23-12-2019 - 22:10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN                                                              KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN MỘT 

      TRẦN HƯNG ĐẠO                                                               DỰ THI OLYMPIC 30/4 NĂM HỌC 2019-2020

                                                                                           MÔN: TOÁN - KHỐI 10    Thời gian làm bài : 180 phút

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐỀ:

Câu 1.

                Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x} \\ x^2+11x+y=4+\sqrt{6x+y} \end{matrix}\right.$

 

Câu 2.

  Cho đường tròn $(I)$ và đường thẳng $d$ không cắt nhau. Đường kính $AB$ của $(I)$ vuông góc với $d$ ($B$ gần $d$ hơn $A$). $M$ là một điểm trên $(I)$, $M$ khác $A$, $B$. Đường thẳng $AM$ cắt $d$ tại $N$. Đường thẳng $NP$ là tiếp tuyến của $(I)$ với $P$ là tiếp điểm ($P$, $B$ nằm cùng phía so với $AM$). Đường thẳng $BP$ cắt $d$ tại $E$. Gọi $F$, $H$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AE$, $ME$. Chứng minh $HF$ song song với $d$. 

 

Câu 3.

          Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$.

          Chứng minh rằng $\left( 1+\frac{x}{y} \right )\left( 1+\frac{y}{z} \right )\left( 1+\frac{z}{x} \right )\geq 2+ \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$.

 

Câu 4. 

          Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$.

 

Câu 5.

          Cho $A$ là số tự nhiên có $2016$ chữ số và các chữ số đều bằng $1$. Chứng minh rằng $A$ chia hết  cho $308601$.

 

Câu 6.

          Chọn ra $69$ số nguyên dương từ tập hợp $E = $ $\left \{ 1;2;...100 \right \}$ .Chứng minh tồn tại $4$ số $a<b<c<d$ trong $69$ số được chọn sao cho $a+b+c=d$. Kết luận bài toán còn đúng không nếu ta thay $69$ bằng $68$?

---Hết---


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 26-12-2019 - 21:42

   Trăm năm Kiều vẫn là Kiều

Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.


#2 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 553 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 24-12-2019 - 23:04

$2/$ Gọi $C=AB\cap d,D=BM\cap PF,G=AP\cap BF,J=AB\cap PF.$

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix}F,P,M\\B,A,P\end{pmatrix},$ ta được $\overline{E,N,D} \Rightarrow D \in d.$

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix}A,F,B\\F,M,P\end{pmatrix},$ ta suy ra $AM,DG$ và tiếp tuyến tại $F$ của $(I)$ đồng quy. 

Mặt khác theo định lí $Brocard, \overline{IJC} \perp GE \Rightarrow G \in d \Rightarrow AM \cap DG=N,$ tức là $NF$ tiếp xúc $(I).$

Vậy $NI$ là trung trực $PF,$ hay $NI$ đi qua trung điểm $PF.$ Theo định lí về đường thẳng $Gauss$ của tứ giác toàn phần, $NE=NG$

$\Rightarrow NE=NF \Rightarrow \widehat{NFE}=\widehat{NEF}\Rightarrow \widehat{FMA}=\widehat{AMH}.$

Vậy $AF=AH \Rightarrow FH \perp AB \Rightarrow FH \parallel d.$ Ta có đpcm.

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 29-12-2019 - 12:26

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#3 ThuanTri

ThuanTri

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết-Bình Thuận
  • Sở thích:bruh

Đã gửi 25-12-2019 - 20:27

$2/$ Gọi $C=AB\cap d,D=BM\cap PF,G=AP\cap BF,J=AB\cap PF.$

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix}F,P,M\\B,A,P\end{pmatrix},$ ta được $\overline{E,N,D} \Rightarrow D \in d.$

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix}A,F,B\\F,M,P\end{pmatrix},$ ta suy ra $AM,DG$ và tiếp tuyến tại $F$ của $(I)$ đồng quy. 

Mặt khác theo định lí $Brocard, \overline{IJC} \perp GE \Rightarrow G \in d \Rightarrow AM \cap DG=N,$ tức là $NF$ tiếp xúc $(I).$

Vậy $NI$ là trung trực $PF,$ hay $NI$ đi qua trung điểm $PF.$ Theo định lí về đường thẳng $Gauss$ của tứ giác toàn phần, $NE=NG$

$\Rightarrow NE=NF \Rightarrow \widehat{NFE}=\widehat{NEF}\Rightarrow \widehat{FMA}=\widehat{AMH}.$

Vậy $AF=AH \Rightarrow FH \perp AB \Rightarrow FH \parallel d.$ Ta có đpcm

Chứng minh $\Delta ENP$ cân. 

Chứng minh $\Delta ENM$ đồng dạng $\Delta ANE.$

$\Rightarrow d \parallel FH.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 25-12-2019 - 22:03
Latex

   Trăm năm Kiều vẫn là Kiều

Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.


#4 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 25-12-2019 - 21:17

Bài 3

Bđt$\Leftrightarrow (1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+2(\sum \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}})$

Đặt $(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})\rightarrow (a^{3},b^{3},c^{3})\Rightarrow abc=1$

BĐT $\Leftrightarrow (1+a^{3})(1+b^{3})(1+c^{3})\geq 2(\sum \frac{a}{c})\Leftrightarrow \sum a^{3}+\sum a^{3}b^{3}+1+(abc)^{3}\geq 2+2\sum a^{2}b\Leftrightarrow \sum a^{3}+\sum (ab)^{3}\geq 2\sum a^{2}b$

Có $a^{3}+a^{3}b^{3}+1\geq 3a^{2}b.$

CMTT kết hợp với $\sum a^{2}b\geq 3abc=3\Rightarrow \sum a^{3}+\sum (ab)^{3}\geq 3\sum a^{2}b-3\geq 2\sum a^{2}b$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Henry00Harry: 25-12-2019 - 21:19


#5 ThuanTri

ThuanTri

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết-Bình Thuận
  • Sở thích:bruh

Đã gửi 26-12-2019 - 21:54

Câu 1.

Đặt $a=\sqrt{x+y}$, $b=\sqrt{2-x}$

Ta có $(1)\Leftrightarrow a^2b-2b^2a+3a-6b=0$

              $\Leftrightarrow (ab+3)(a-2b)=0$

              $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=2b \\ ab=-3 \end{bmatrix}$ (loại $ab=-3$)

Thế vào phương trình $(2)$, giải nghiệm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 26-12-2019 - 21:58

   Trăm năm Kiều vẫn là Kiều

Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic, toán 10, chọn đội tuyển

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh