Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{24}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{25}{ab+bc+ca}\geq 14$
$\frac{24}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{25}{ab+bc+ca}\geq 14$
Bắt đầu bởi LongNT, 07-09-2021 - 17:16
#2
Đã gửi 08-09-2021 - 10:55
LongNT
-
- Thành viên mới
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
Mong các bạn/anh chị giúp mình/em bài này và đồng thời chia sẻ một số kinh nghiệm khi gặp dạng này
#4
Đã gửi 09-09-2021 - 10:17
PDF
-
- Thành viên
-
- 197 Bài viết
Trung sĩ
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{24}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{25}{ab+bc+ca}\geq 14$
Bài toán này sẽ đúng nếu thêm vào điều kiện $a\geq 1\geq b\geq c$ và $bc+ca+ab>0$.
#5
Đã gửi 09-09-2021 - 11:47
LongNT
-
- Thành viên mới
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
Bài toán này sẽ đúng nếu thêm vào điều kiện $a\geq 1\geq b\geq c$ và $bc+ca+ab>0$
Vâng ạ, em ghi thiếu đề
#6
Đã gửi 12-09-2021 - 14:32
kogioitoan
-
- Thành viên mới
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
Ta có $a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b)=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=27-9(ab+bc+ca)+3abc$. Mặt khác ta cũng có $(c-1)(a-1)(b-1)\leq 0\rightarrow 3abc\leq 3(ab+bc+ca)-6$. Đặt $t=ab+bc+ca$ (điều kiện bạn tự tìm min max của $ab+bc+ca$ nhé), bđt cần chứng minh trở thành $\frac{24}{21-6t}+\frac{25}{t}\geq 14$ tương đương với $(2t-5)^2 \geq 0$(đúng).
Dấu "=" xảy ra khi $a=2, b=1, c=0$ (mình ko chắc lắm)
- LongNT yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
