+, Từ công thức truy hồi có:
$2^{n+1}.x_{n+1} = 2^n.\left(x_n+\sqrt{x_n^2+\frac{1}{4^n}}\right)$
$\Rightarrow 2^{n+1}.x_{n+1} = 2^n.x_n+\sqrt{\left(2^n.x_n\right)^2+1}$
+, Đặt $v_n = 2^n.x_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$
Ta có $v_{n+1} = v_n+\sqrt{v_n^2+1}$ và $v_1=1$
Dễ chứng minh $v_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$
Đặt $v_{n} = \frac{1}{u_n} \Rightarrow u_n = \frac{1}{v_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$ và $u_1=1$
Ta có $\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n}+\sqrt{\left(\frac{1}{u_n}\right)^2+1}$
$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}+1}{u_n}$
$\Rightarrow u_{n+1} = \frac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}+1} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}-1}{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$
+, Đến đây ta có dãy số
$(u_n): \begin{cases}u_1 = 1& \\u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}-1}{u_n} &\forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$
và
$x_n = \frac{1}{2^n.u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$
Ta chứng minh được công thức số hạng tổng quát:
$u_n = tan \frac{\pi}{2^{n+1}}, \forall n \in \mathbb{N}^*$
với cách làm tương tự ở đây.
Do đó
$x_n = \frac{1}{2^n. tan \frac{\pi}{2^{n+1}}} = \frac{2}{\pi}.\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{tan \frac{\pi}{2^{n+1}}}, \forall n \in \mathbb{N}^*$
+, Khi $n \rightarrow +\infty \Rightarrow \frac{\pi}{2^{n+1}} \rightarrow 0$.
Đến đây áp dụng $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{x}=1$ ta có
$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{tanx} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sinx}.cosx = 1.cos(0) = 1$
Do đó $\lim_{n\rightarrow +\infty} x_n = \frac{2}{\pi}$.
P/S:
Giải mãi mà không ra, đến khi vô tình làm câu ở link trên kia mới nhận ra cách đặt dãy phụ và giải được.
Câu này nằm trong đề thi chọn hsg toán 12 tỉnh Bình Dương năm 2020-2021.