Chủ đề này có 1 trả lời

[PDF]

(xlzbq) Cho $a,b,c\geq 0$ có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{b+c}{a^{2}+1}+\dfrac{c+a}{b^{2}+1}+\dfrac{a+b}{c^{2}+1}\geq \frac{9}{5}.$$

PS: Lâu lâu không vào VMF, đăng tí cho vui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 09-09-2021 - 08:24

[PDF]

(xlzbq) Cho $a,b,c\geq 0$ có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{b+c}{a^{2}+1}+\dfrac{c+a}{b^{2}+1}+\dfrac{a+b}{c^{2}+1}\geq \frac{9}{5}.$$

PS: Lâu lâu không vào VMF, đăng tí cho vui

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$. Đặt $f(t)=\frac{1-t}{1+t^{2}}$.

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1. $c\geq \frac{1}{7}$

Ta chứng minh $$f(x)\geq \frac{3}{5}-\frac{63}{50}\left(x-\dfrac{1}{3}\right).$$

Thật vậy vì bất đẳng thức tương đương với

$$\frac{(7x-1)(3x-1)^{2}}{50(x^{2}+1)}\geq 0,$$

đúng trong trường hợp ta đang xét.

Cho $x$ bằng $a,b,c$ rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh.

 

Trường hợp 2. $c\leq \frac{1}{7}$

Ta có $f(x)-\dfrac{2}{5}+\dfrac{28}{25}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(7x+1)(2x-1)^{2}}{25(x^{2}+1)}\geq 0$ nên $f(x)\geq \dfrac{2}{5}-\dfrac{28}{25}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$

Suy ra $$f(a)+f(b)\geq \frac{4}{5}+\frac{28}{25}c.$$

Ta chỉ cần phải chứng minh

$$f(c)\geq 1-\frac{28}{25}c,$$

hay $$\frac{c(7c-1)(3c-4)}{25(c^{2}+1)}\geq 0,$$

đúng vì $c\leq \dfrac{1}{7}$.

Vậy bất đẳng thức đúng trong mọi trường hợp. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 11-09-2021 - 08:03