Bài toán: Cho dãy số thực $(a_n)_n$ được định nghĩa như sau
$$a_1=\frac{3}{2}, a_n=\sqrt{3a_{n-1}-2}, n\geq 2$$
Chứng minh rằng dãy $(a_n)_n$ hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 10-09-2021 - 14:54
Bài toán: Cho dãy số thực $(a_n)_n$ được định nghĩa như sau
$$a_1=\frac{3}{2}, a_n=\sqrt{3a_{n-1}-2}, n\geq 2$$
Chứng minh rằng dãy $(a_n)_n$ hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 10-09-2021 - 14:54
- $(a_n)$ là dãy dương (1): Dễ dàng quy nạp được từ công thức truy hồi
- $(a_n)$ bị chặn trong khoảng $[1;2]$ (2): Cũng đơn giản từ quy nạp ráp vào
- $(a_n)$ là dãy tăng (3): Tiếp tục quy nạp thêm lần nữa cần chứng minh $a_{n+1}^2>a_n^2$ để xài (1) ta có $a_n^2-3a_n+2\leq 0$ luôn đúng theo (2)
Từ (2), (3) có được $(a_n)$ là dãy hội tụ, quy về bài toán tìm lim ta được $L=2$
- $(a_n)$ là dãy dương (1): Dễ dàng quy nạp được từ công thức truy hồi
- $(a_n)$ bị chặn trong khoảng $[1;2]$ (2): Cũng đơn giản từ quy nạp ráp vào
- $(a_n)$ là dãy tăng (3): Tiếp tục quy nạp thêm lần nữa cần chứng minh $a_{n+1}^2>a_n^2$ để xài (1) ta có $a_n^2-3a_n+2\leq 0$ luôn đúng theo (2)
Từ (2), (3) có được $(a_n)$ là dãy hội tụ, quy về bài toán tìm lim ta được $L=2$
Quy về PT giới hạn $L=\sqrt{3L-2}$ với $L\in [1,2]$ thì $L=1$ cũng thỏa điều kiện. Vậy làm sao để ta loại $L=1$ ?
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh