Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VMO-2020

vmo2020

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1728 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 27-12-2019 - 11:31

Ngày 1 (27/12/2019)

 

Bài 1: Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=1$ và $x_{n+1}=x_n+3\sqrt{x_n}+\frac{n}{\sqrt{x_n}}$ với mọi $n\ge 1$.

a) Chứng minh rằng: $\text{lim}\frac{n}{x_n}=0$.

b) Tìm giới hạn: $\text{lim}\frac{n^2}{x_n}$

Bài 2:

a) Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng: $|a-b|+|b-c|+|c-a|\le 2\sqrt{2}$.

b) Cho $2019$ số thực $a_1,a_2,...,a_{2019}$ thỏa mãn $a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+...+|a_{2018}-a_{2019}|+|a_{2019}-a_1|$.

Bài 3: Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=5,a_2=13$ và $a_{n+1}=5a_n-6a_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$.

a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.

b) Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $a_{2^{k}}$ thì $(p-1)$ chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi số tự nhiên $k$.

Bài 4:

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $O$ qua các đường thẳng $BC,CA,AB$.

a) Gọi $H_a$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$, $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ và $O_a$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$. Chứng minh rằng $H_aD$ và $O_aA'$ cắt nhau trên $(O)$.

b) Lấy điểm $X$ sao cho tứ giác $AXDA'$ là hình bình hành. Chứng minh rằng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AHX,ABF$ và $ACE$ có một điểm chung thứ hai khác

                                                                                           *****

Ngày 2 (28/12/2019)

 

Bài 5:

Cho hệ phương trình với tham số $a$: 

$\left\{\begin{matrix} x-ay=yz\\ y-az=zx && (x,y,z\in\mathbb{R})\\ z-ax=xy \end{matrix}\right.$

a) Giải hệ phương trình khi $a=0$

b) Chứng minh rằng hệ trên có $5$ nghiệm phân biệt với mọi số thực $a>1$.

Bài 6:

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân. Gọi $D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$. Đường tròn đường kính $AD$ cắt lại $DE,DF$ lần lượt tại $M,N$. Lấy các điểm $P,Q$ tương ứng trên $AB,AC$ sao cho $NP$ vuông góc $AB,MQ$ vuông góc $AC$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$.

a) Chứng minh rằng: $(I)$ tiếp xúc với $EF$.

b) Gọi $T$ là tiếp điểm của $(I)$ với $EF$, $DT$ cắt $MN$ tại $K$. Gọi $L$ là điểm đối xứng của $A$ qua $MN$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DKL$ đi qua giao điểm của $EF$ và $MN$.

Bài 7: 

Cho số nguyên dương $n>1$. Ký hiệu $T$ là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự $(x,y,z)$, trong đó $x,y,z$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và $1\le x,y,z\le 2n$. Một tập hợp $A$ các bộ có thứ tự $(u,v)$ được gọi là liên kết với $T$ nếu với mỗi phần tử $(x,y,z)\in T$ thì $\left\{(x,y),(x,z),(y,z)\right\}\cap A\ne \emptyset$

a) Tính số phần tử của $T$

b) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với $T$ có đúng $2n(n-1)$ phần tử.

c) Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với $T$ có không ít hơn $2n(n-1)$ phần tử.

Nguồn: Facebook Hướng tới VMO-TST


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 28-12-2019 - 14:50

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.
  • Bồ-đề-đạt-ma là đệ tử và truyền nhân của Tổ thứ 27, Bát-nhã-đa-la (sa. prajñādhāra) và là thầy của Huệ Khả, Nhị tổ Thiền Trung Quốc. Sự tích truyền pháp của Bát-nhã-đa-la cho Bồ-đề-đạt-ma được truyền lại như sau:

    Tổ hỏi: "Trong mọi thứ, thứ gì vô sắc?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Vô sinh vô sắc". Tổ hỏi tiếp: "Trong mọi thứ, cái gì vĩ đại nhất?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Phật pháp vĩ đại nhất".

#2 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 553 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 27-12-2019 - 16:21

Một lời giải cho bài $4,$ xem tại đây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-12-2019 - 17:22

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#3 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1728 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 27-12-2019 - 16:57

Lời giải bài 1,2,3,4 từ Facebook thầy Cẩn

Link:https://drive.google...9nwdo6dV6VY1BoM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-12-2019 - 15:50

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.
  • Bồ-đề-đạt-ma là đệ tử và truyền nhân của Tổ thứ 27, Bát-nhã-đa-la (sa. prajñādhāra) và là thầy của Huệ Khả, Nhị tổ Thiền Trung Quốc. Sự tích truyền pháp của Bát-nhã-đa-la cho Bồ-đề-đạt-ma được truyền lại như sau:

    Tổ hỏi: "Trong mọi thứ, thứ gì vô sắc?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Vô sinh vô sắc". Tổ hỏi tiếp: "Trong mọi thứ, cái gì vĩ đại nhất?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Phật pháp vĩ đại nhất".

#4 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 553 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 28-12-2019 - 16:48

$4/$

$a)$ Qua phép đối xứng trục trung trực $BC,$ yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng minh $DA',H_aO_a$ đồng quy trên $(O).$

Hiển nhiên $H_a \in (O).$ Giả sử $A'D$ cắt lại $(O)$ tại $G.$

Do $\overline{A',D,G}$ nên qua phép nghịch đảo tâm $O$ phương tích $OB^2$ thì $O,G,O_a,A'$ đồng viên.

Do đó $\widehat{O_aGA'}= \widehat{O_aOA'}= \widehat{H_aAA'}= \widehat{H_aGA'} \Rightarrow \overline{G,H_a,O_a}.$

Ta có đpcm.

$b)$ Hiển nhiên $H$ đối xứng $A'$ và $O$ đối xứng $D$ qua trung điểm $BC$ nên $HOA'D$ là hình bình hành.

Do đó $AXHO$ là hình bình hành, và $(AHX)$ đi qua điểm đối xứng với $O$ qua $AH$ là $O_1.$

Xét phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì, ta chuyển bài toán đã cho về bổ đề sau.

Bổ đề. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(A'),AA'$ cắt lại $(BA'C)$ tại $H.O$ đối xứng $A$ qua $BC$ và $F,E,O_1$ đối xứng $O$ qua $AB,AC,AH.$

Khi đó $BF,CE,HO_1$ đồng quy.

Chứng minh bổ đề.

Ta có đpcm.

main.png

 

Định nghĩa của điểm $isogonal-conjugate$ có thể xem tại đây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 29-12-2019 - 12:08

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#5 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 553 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 29-12-2019 - 01:07

$6/$

Hình vẽ bài 6.

Xét phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích $AF.AB,$ ta đưa bài toán đã cho về bài toán mới sau.

Bài toán 6'. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có trực tâm $H,$ đường cao $AD,BE,CF.$ Đường thẳng qua $H$ vuông góc $AH$ cắt $(AHC),(AHB)$ tại $M,N \neq A.$ Các đường thẳng qua $N,M$ vuông góc $AN,AM$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q.$ 

$a)$ Chứng minh $PQ$ tiếp xúc $(O)$ tại $T$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O.$

$b)$ Gọi $(AHT)$ cắt $(AMN)$ tại $K \neq A,L$ là tâm $(AMN).$ Chứng minh $(HKL),(O),(L)$ cùng đi qua một điểm.

Hình vẽ bài toán 6'.

Lời giải bài toán 6'.

$a)$ Do tứ giác $AHBN$ nội tiếp nên $\widehat{ABN}= \widehat{AHN}=90^0$ và $\widehat{ANB}=180^0- \widehat{AHB}= \widehat{ATB}.$

Mà $\widehat{ABT}=90^0\Rightarrow N$ đối xứng $T$ qua $B\Rightarrow\widehat{PTB}=\widehat{PNB}=\widehat{PAN}=\widehat{TAB}.$

Tương tự $\widehat{QTC}= \widehat{TAC} \Rightarrow \widehat{PTQ}=180^0.$ Ta có đpcm.

$b)$ Xét phép vị tự tâm $T$ tỉ số $\frac{1}{2},$ ta đưa bài toán đã cho về chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề. Cho $\Delta IBC$ nội tiếp $(L)$ và ngoại tiếp $(T).$ Gọi $H,O$ là trung điểm $BC$ và giao điểm thứ hai của $IT$ và $(L).$ Giả sử $(OHT)$ cắt lại $(L)$ tại $K \neq O,$ khi đó $(HLK),(L)$ và đường tròn đường kính $OT$ cùng đi qua một điểm.

Hình vẽ bổ đề.

Chứng minh bổ đề.

Gọi $(G)$ là đường tròn $I-in.mixtilinear$ của $\Delta IBC$ thì $(G)$ tiếp xúc $(L),AB,AC$ tại $S,X,Y.$

Theo tính chất $2.2$ tại đây thì $ST$ đi qua $R$ là điểm đối xứng với $O$ qua $L,$ do đó $S \in (OT).$

Theo tính chất $2.3$ tại đây thì $SO,BC,XY$ đồng quy tại $J.$

Gọi $L'$ đối xứng $O$ qua $H,U$ là tâm $(JHO),SR$ cắt $BC$ tại $V.$

Do $SR$ là phân giác $\widehat{BSC}$ và $SJ \perp SR$ nên $(JVBC)=-1.$

Theo hệ thức $Newton,HJ.HV=HB^2=HO.HR=HL'.HR \Rightarrow V \in (JLR).$ Vậy ta có $SR,BC,(JLR)$ cùng đi qua $V.$

Qua phép nghịch đảo tâm $O$ phương tích $OB^2,$ ta được $(SLH),(L),(OHT)$ cùng đi qua một điểm.

Từ cách xác định điểm $K,$ ta suy ra $K \in (SLH) \Rightarrow S \in (HLK).$

Vậy $(HLK),(L)$ và đường tròn đường kính $OT$ cùng đi qua $S.$ Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 29-12-2019 - 08:21

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.

#6 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 29-12-2019 - 21:51

Một hướng tiếp cận:

Hình gửi kèm

  • 6ab.jpg
  • 4a.jpg
  • 4b1.jpg
  • 4b2.jpg
  • Baitoansao.jpg
  • 1.jpg
  • 80803186_527290338128875_2539993867298537472_n.jpg
  • 82024373_2692535160822113_7786517842106515456_n.jpg
  • 80886313_1230874700454844_980747325250994176_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 31-12-2019 - 17:57


#7 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1728 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 30-12-2019 - 07:02

Lời giải và bình luận VMO 2020 cả 2 ngày : https://drive.google...Og4dP1pHnPyZ4CI

Nguồn: Hướng tới VMO-TST


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.
  • Bồ-đề-đạt-ma là đệ tử và truyền nhân của Tổ thứ 27, Bát-nhã-đa-la (sa. prajñādhāra) và là thầy của Huệ Khả, Nhị tổ Thiền Trung Quốc. Sự tích truyền pháp của Bát-nhã-đa-la cho Bồ-đề-đạt-ma được truyền lại như sau:

    Tổ hỏi: "Trong mọi thứ, thứ gì vô sắc?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Vô sinh vô sắc". Tổ hỏi tiếp: "Trong mọi thứ, cái gì vĩ đại nhất?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Phật pháp vĩ đại nhất".




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh