Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$
gõ lộn hihi, xin lỗi nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 11-09-2021 - 15:51
Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$
gõ lộn hihi, xin lỗi nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 11-09-2021 - 15:51
Bài này là VMO 2002 nhưng đổi số. Có một cách trong file "Kĩ thuật giải phương trình hàm", nhưng mà sao không hiểu người viết sách lại không dùng cách này nhỉ
Gọi $P(x,y)$ là phép thể của phương trình hàm đề bài.
Ta cần triệt tiêu $f(y-f(x))$ và $f(x^{2020}-y)$ do đó ta cần $y-f(x)=x^{2020}-y\Rightarrow y=\frac 12 (x^{2020}+f(x))$
Do đó $P(x, \frac 12 (x^{2020}+f(x))) \Rightarrow 2019.\frac 12 (x^{2020}+f(x))f(x)=0$
Suy ra $f(x)=0$ hoặc $f(x)=-x^{2020}$.
Quên mất vì $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ nên $f(x)=-x^{2020}, \forall x\in\Bbb R^+$, không cần bước kiểm tra hàm khác.
Thử lại vào phương trình hàm ban đầu thấy không thỏa, vậy không có hàm nào thỏa đề bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 11-09-2021 - 16:01
gõ lộn hihi, xin lỗi nha
Ôi, bẻ lái phút cuối :') . Thôi không sao mình tiếp tục từ bước 2 trường hợp.
Ta sẽ kiểm tra xem có tồn tại hàm khác sao cho $f(a)=0$ và $f(b)=-b^{2020}$, với $a,b \neq 0$ không.
$P(0,\frac 12 f(0)) \Rightarrow f(0)=0$
$P(0,y)\Rightarrow f(-y)=f(y)$ suy ra $f$ là hàm chẵn
$P(a,-b)\Rightarrow f(-b)=f(a^{2020}+b)=f(b)$
Nếu $f(a^{2020}+b)=0$ thì $-b^{2020}=0\Rightarrow b=0$ (mâu thuẫn $b\neq 0$)
Nếu $f(a^{2020}+b)=-(a^{2020}+b)^{2020}=-b^{2020}=f(b)$ cũng mâu thuẫn nốt.
Vậy chỉ có 2 hàm $f(x)=0 \forall x\in\Bbb R$ và $f(x)=-x^{2020} \forall x\in\mathbb R$ thỏa
Thử lại chỉ có $f(x)=0$ thỏa.
(Lưu ý: Không nên dùng $P(a,b)$ vì bài này dùng cái đó nó bị bí chỗ $-(a^{2020}-b)^{2020}=-b^{2020}$)
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh