Cho tam giác ABC có D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB. Chứng minh rằng các đường tròn (AEF),(BFD),(CDE) cùng đi qua một điểm, đồng thời chúng có bán kính bằng nhau.
Chứng minh rằng các đường tròn (AEF),(BFD),(CDE) cùng đi qua một điểm, đồng thời chúng có bán kính bằng nhau.
#1
Đã gửi 12-09-2021 - 06:11
#2
Đã gửi 12-09-2021 - 06:47
Gọi $(AEF) \cap (BFD) = I\Rightarrow \angle IDB = \angle IFA = \angle IEC.$
Dẫn đến tứ giác $CDIE$ nội tiếp hay $(AEF),(BFD), (CDE)$ cùng đi qua một điểm.
Gọi I' là tâm $(ABC)$ khi đó kẻ $I'D', I'E', I'F'$ lần lượt vuông $BC,CA,AB$ thì ta có ngay $D',E',F'$ là trung điểm $BC,CA,AB.$
Dẫn đến $D\equiv D', E\equiv E', F\equiv F';$ theo cách dựng ta có tứ giác $I'D'BE'$ nội tiếp nên $I'DBE$ cũng nội tiếp.
Tương tự $I'DCE, I'EAF$ đều nội tiếp. Do đó $I\equiv I'.$ Ta lại có $I'A=I'B=I'C\Rightarrow IA=IB=IC,$ từ đó dễ thấy được điều cần chứng minh.
Ps: Ý thứ hai không chắc.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 12-09-2021 - 06:57
- Bibop123 yêu thích
#3
Đã gửi 12-09-2021 - 07:00
Gọi $(AEF) \cap (BFD) = I\Rightarrow \angle IDB = \angle IFA = \angle IEC.$
Dẫn đến tứ giác $CDIE$ nội tiếp hay $(AEF),(BFD), (CDE)$ cùng đi qua một điểm.
Gọi I' là tâm $(ABC)$ khi đó kẻ $I'D', I'E', I'F'$ lần lượt vuông $BC,CA,AB$ thì ta có ngay $D',E',F'$ là trung điểm $BC,CA,AB.$
Dẫn đến $D\equiv D', E\equiv E', F\equiv F';$ theo cách dựng ta có tứ giác $I'D'BE'$ nội tiếp nên $I'DBE$ cũng nội tiếp.
Tương tự $I'DCE, I'EAF$ đều nội tiếp. Do đó $I\equiv I'.$ Ta lại có $I'A=I'B=I'C\Rightarrow IA=IB=IC,$ từ đó dễ thấy được điều cần chứng minh.
Ps: Ý thứ hai không chắc.
Bạn ơi nếu mình chưa học tứ giác nội tiếp thì bài này có cách giải nào khác không ạ?
#5
Đã gửi 12-09-2021 - 08:37
B1. Gọi $I$ là giao trung trực $AB, AC$ thì suy ra IA=IB=IC và ID, IE, IF vuông góc với các cạnh tương ứng
B2. Xét từng cặp tam giác vuông có chung cạnh huyền
ví dụ: AIE có cạnh huyền AI nên E thuộc đường tròn đường kính IA.
Tương tự cho tam giác AIF
Nen A, E, F thuộc đtđk IA
Tuong tự cho IB, IC. Mà IA=IB=IC nên có dpcm
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh