Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng các đường tròn (AEF),(BFD),(CDE) cùng đi qua một điểm, đồng thời chúng có bán kính bằng nhau.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Bibop123

Bibop123

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Cho tam giác ABC có D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB. Chứng minh rằng các đường tròn (AEF),(BFD),(CDE) cùng đi qua một điểm, đồng thời chúng có bán kính bằng nhau.



#2
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

QdtK9qK.png

Gọi $(AEF) \cap (BFD) = I\Rightarrow \angle IDB = \angle IFA = \angle IEC.$

Dẫn đến tứ giác $CDIE$ nội tiếp hay $(AEF),(BFD), (CDE)$ cùng đi qua một điểm.

Gọi I' là tâm $(ABC)$ khi đó kẻ $I'D', I'E', I'F'$ lần lượt vuông $BC,CA,AB$ thì ta có ngay $D',E',F'$ là trung điểm $BC,CA,AB.$

Dẫn đến $D\equiv D', E\equiv E', F\equiv F';$ theo cách dựng ta có tứ giác $I'D'BE'$ nội tiếp nên $I'DBE$ cũng nội tiếp.

Tương tự $I'DCE, I'EAF$ đều nội tiếp. Do đó $I\equiv I'.$ Ta lại có $I'A=I'B=I'C\Rightarrow IA=IB=IC,$ từ đó dễ thấy được điều cần chứng minh.

Ps: Ý thứ hai không chắc.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 12-09-2021 - 06:57


#3
Bibop123

Bibop123

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

QdtK9qK.png

Gọi $(AEF) \cap (BFD) = I\Rightarrow \angle IDB = \angle IFA = \angle IEC.$

Dẫn đến tứ giác $CDIE$ nội tiếp hay $(AEF),(BFD), (CDE)$ cùng đi qua một điểm.

Gọi I' là tâm $(ABC)$ khi đó kẻ $I'D', I'E', I'F'$ lần lượt vuông $BC,CA,AB$ thì ta có ngay $D',E',F'$ là trung điểm $BC,CA,AB.$

Dẫn đến $D\equiv D', E\equiv E', F\equiv F';$ theo cách dựng ta có tứ giác $I'D'BE'$ nội tiếp nên $I'DBE$ cũng nội tiếp.

Tương tự $I'DCE, I'EAF$ đều nội tiếp. Do đó $I\equiv I'.$ Ta lại có $I'A=I'B=I'C\Rightarrow IA=IB=IC,$ từ đó dễ thấy được điều cần chứng minh.

Ps: Ý thứ hai không chắc.

Bạn ơi nếu mình chưa học tứ giác nội tiếp thì bài này có cách giải nào khác không ạ?



#4
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Bạn ơi nếu mình chưa học tứ giác nội tiếp thì bài này có cách giải nào khác không ạ?

Bài này là định lý Miquel, cách chứng minh quen thuộc nhất là dùng tứ giác nội tiếp :D Còn cách khác thì mình chưa có :) 



#5
youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

B1. Gọi $I$ là giao trung trực $AB, AC$ thì suy ra IA=IB=IC và ID, IE, IF vuông góc với các cạnh tương ứng

B2. Xét từng cặp tam giác vuông có chung cạnh huyền

ví dụ: AIE có cạnh huyền AI nên E thuộc đường tròn đường kính IA. 

Tương tự cho tam giác AIF

Nen A, E, F thuộc đtđk IA

 

Tuong tự cho IB, IC. Mà IA=IB=IC nên có dpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh