Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R, f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)\quad \forall x, y \in \mathbb{R}$
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$
#1
Đã gửi 14-09-2021 - 21:12
#2
Đã gửi 14-09-2021 - 21:21
#3
Đã gửi 15-09-2021 - 07:41
Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải)
IMOSL 2002 á anh hehe, quăng em cái link xíu.
- DOTOANNANG và Hoang72 thích
#6
Đã gửi 16-09-2021 - 11:24
Vẫn bài trên, nhưng đổi để hàm thỏa dễ nhìn hơn và bỏ hàm lẻ để không cho người làm được lụm $f(0)=0$ ngay từ đầu
Trích và sửa từ bài Đồng Tháp
Thay $x=0$ ta được $f(y)=f(f(y))$ (1)
Thay $y$ bởi $-f(x)$ ta được $f(x-f(-f(x)))=-2x+f(0)$ suy ra $f$ toàn ánh
Do đó tồn tại $t\in\Bbb R$ sao cho $f(t)=0$
Thay $x=t$ ta được $f(f(y)-t)=f(y)-2t$ suy ra $f$ đơn ánh.
Do đó (1) suy ra $f(y)=y, \forall y\in\mathbb R$
Vậy $f(x)=x, \forall y\in\mathbb R$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 16-09-2021 - 11:25
- DOTOANNANG yêu thích
#7
Đã gửi 16-09-2021 - 11:41
Vẫn bài trên, nhưng đổi để hàm thỏa dễ nhìn hơn và bỏ hàm lẻ để không cho người làm được lụm $f(0)=0$ ngay từ đầu
Trích và sửa từ bài Đồng Tháp
Thay $x=0$ ta được $f(y)=f(f(y))$ (1)
Thay $y$ bởi $-f(x)$ ta được $f(x-f(-f(x)))=-2x+f(0)$ suy ra $f$ toàn ánh
Do đó tồn tại $t\in\Bbb R$ sao cho $f(t)=0$
Thay $x=t$ ta được $f(f(y)-t)=f(y)-2t$ suy ra $f$ đơn ánh.
Do đó (1) suy ra $f(y)=y, \forall y\in\mathbb R$
Vậy $f(x)=x, \forall y\in\mathbb R$
Thử lại thấy thỏa mãn.
$f(0)$ chưa bằng 0 mà a
#8
Đã gửi 16-09-2021 - 12:00
Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):
$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$
$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$
Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 16-09-2021 - 12:01
- pcoVietnam02 yêu thích
#9
Đã gửi 16-09-2021 - 14:10
Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):
$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$
$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$
Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$
Đúng rồi, tại sáng làm vội nên chưa nhìn kĩ hì
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh