Chủ đề này có 2 trả lời

[Serine]

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R \quad f(y^2)=f(x+y)f(y-x)+x^2\quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

[Syndycate]

Bài này có thể dùng phép thế $x+y=2a, x-y=2b, x=a+b, y=a-b$

[pcoVietnam02]

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R \quad f(y^2)=f(x+y)f(y-x)+x^2\quad \forall x, y \in \mathbb{R}$ (1)

 

Thay $y$ bởi $x$ ta được $f(x^2)=f(2x)f(0)+x^2$ (2)

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$

+ Nếu $f(0)=0$ thì (2) trở thành $f(x^2)=x^2$ suy ra $f(x)=x,\forall x\geq 0$

Thay $y=0$ ta được $f(x)f(-x)=-x^2,\forall x\in\mathbb R$

Do đó với $x\geq 0$ thì $f(-x)=-x$ hay $f(x)=x, \forall x<0 \Rightarrow f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.

+ Nếu $f(0)=1$ thì (2) trở thành $f(x^2)=f(2x)+x^2$

Cho $x=2$ thì $f(4)=f(4)+4$ (vô lý)

Vậy $f(x)=x, \forall x\in\mathbb R$