Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thoả mãn :
$ f(y.f(x)+2x)=f(x).f(y)+x $ với mọi x, y thuộc R
Bước đầu (Chưa xong trường hợp $f(0)=1$)
Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=f(0)^2$ suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$
Nếu $f(0)=0$ thì thay $x=0$ ta được $f(2x)=x$ hay $f(x)=\frac 12$ với mọi $x\in\mathbb R$
Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thoả mãn :
$ f(yf(x)+2x)=f(x).f(y)+x $ với mọi $x, y$ thuộc $\Bbb R$ (1)
Trường hợp $f(0)=1$:
Ta cần dựng phép thể khởi đầu để phần trong 2 hàm $f(yf(x)+2x)$ và $f(y)$ là như nhau ($f(x)$ cũng được); hay ta sẽ có $yf(x)+2x=y\Rightarrow y=\frac{2x}{1-f(x)}$
Kiểm tra thêm hàm $f(x)=1$ thì dễ dàng thấy hàm đấy không thỏa cho nên $\frac{2x}{1-f(x)}$ xác định.
Như vậy, thay $y$ bởi $\frac{2x}{1-f(x)}$ ta được $f(\frac{2x}{1-f(x)})=f(x)f(\frac{2x}{1-f(x)})+x \Rightarrow f(\frac{2x}{1-f(x)})=\frac{x}{1-f(x)}$
Như vậy $f(2k)=k$, với $k=\frac{2x}{1-f(x)}$ (2)
Tiếp theo sử dụng phép thể để liên tục xuất hiện (2), hiển nhiên sẽ thay $x$ bởi $a$ thì khi đó VT sẽ là $f((y+4).\frac{x}{1-f(x)})=f(y).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}$.
Từ đây dễ dàng chọn được $y$ để thế phụ thuộc vào những dữ kiện mình đã có, ở đây có thể $y=-2$ để sử dụng (2) thêm 1 lần nữa, tuy nhiên thì mình sẽ ra $a=f(-2)a+2a\Rightarrow f(-2)=-1$, dẫn đến bị bí. Do đó đưa về $y=-4$ để có $f(0)=const$.
Thay $x$ bởi $a$ và $y=-4$ ta được $f(0)=f(-4).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}\Rightarrow f(x)=ax+1$ (3) ($a=\frac{f(-4)+2}{f(0)}$)
Thay (3) vào (1) ta được $a=1$.
Chốt lại, ta được các hàm là $f(x)=\frac{x}{2},\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x+1,\forall x\in\mathbb R$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 21-09-2021 - 10:35
Trường hợp $f(0)=1$:
Ta cần dựng phép thể khởi đầu để phần trong 2 hàm $f(yf(x)+2x)$ và $f(y)$ là như nhau ($f(x)$ cũng được); hay ta sẽ có $yf(x)+2x=y\Rightarrow y=\frac{2x}{1-f(x)}$
Kiểm tra thêm hàm $f(x)=1$ thì dễ dàng thấy hàm đấy không thỏa cho nên $\frac{2x}{1-f(x)}$ xác định.
Như vậy, thay $y$ bởi $\frac{2x}{1-f(x)}$ ta được $f(\frac{2x}{1-f(x)})=f(x)f(\frac{2x}{1-f(x)})+x \Rightarrow f(\frac{2x}{1-f(x)})=\frac{x}{1-f(x)}$
Như vậy $f(2k)=k$, với $k=\frac{2x}{1-f(x)}$ (2)
Tiếp theo sử dụng phép thể để liên tục xuất hiện (2), hiển nhiên sẽ thay $x$ bởi $a$ thì khi đó VT sẽ là $f((y+4).\frac{x}{1-f(x)})=f(y).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}$.
Từ đây dễ dàng chọn được $y$ để thế phụ thuộc vào những dữ kiện mình đã có, ở đây có thể $y=-2$ để sử dụng (2) thêm 1 lần nữa, tuy nhiên thì mình sẽ ra $a=f(-2)a+2a\Rightarrow f(-2)=-1$, dẫn đến bị bí. Do đó đưa về $y=-4$ để có $f(0)=const$.
Thay $x$ bởi $a$ và $y=-4$ ta được $f(0)=f(-4).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}\Rightarrow f(x)=ax+1$ (3) ($a=\frac{f(-4)+2}{f(0)}$)
Thay (3) vào (1) ta được $a=1$.
Chốt lại, ta được các hàm là $f(x)=\frac{x}{2},\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x+1,\forall x\in\mathbb R$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Mấy cái dòng đỏ là mình giải thích phòng khi các bạn cần ý tưởng (tại máu sư phạm trỗi dậy đấy )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 21-09-2021 - 10:37
Một bài tương tự bạn có thể luyện tập với cách giải tương tự trên:
Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x, \forall x,y\in\mathbb R$$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh